Čo je int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

odpoveď:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

vysvetlenie:

Toto vysvetlenie je trochu dlhé, ale nemohol som nájsť rýchlejší spôsob, ako to urobiť …

Integrál je lineárna aplikácia, takže môžete funkciu rozdeliť pod integrálny znak.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

Dva prvé termíny sú polynomické funkcie, takže sa ľahko integrujú. Ukážem vám, ako na to # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # tak # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #, Robíte presne to isté # X ^ 3 #, výsledok je #255/4#.

nález #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX # je trochu dlhá a komplikovaná. Najprv vynásobte zlomok podľa #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # a potom zmeníte premennú: povedzme #u = sqrt (x-1) #, tak # Du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # a teraz musíte nájsť # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #, Na to, aby ste ho našli, potrebujete čiastočný rozpad racionálnej funkcie # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # s # a, b, c, d v RR #, Po výpočte zistíme, že # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, čo znamená, že # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) # 2

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # je dobre známe, je #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

A konečne, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2)) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Nahradíte # U # svojím pôvodným výrazom #X# mať #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX #, ktorý je #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Takže nakoniec, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #