Aké sú riešenia (z-1) ^ 3 = 8i?

odpoveď:

#zv {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

vysvetlenie:

Pre tento problém budeme potrebovať vedieť, ako nájsť # N ^ "th" # korene komplexného čísla. Na to použijeme identitu

# e ^ (itheta) = cos (theta) + izín (theta) #

Kvôli tejto identite môžeme reprezentovať akékoľvek komplexné číslo ako

# a + bi = Re ^ (itheta) # kde #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # a #theta = arctan (b / a) #

Teraz pôjdeme cez kroky na nájdenie # 3 ^ "rd" # korene komplexného čísla # A + bi #, Kroky na nájdenie # N ^ "th" # korene sú podobné.

daný # a + bi = Re ^ (itheta) # hľadáme všetky komplexné čísla # Z # takýmto spôsobom

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

ako # Z # je komplexné číslo, existuje # # R_0 a # # Theta_0 takýmto spôsobom

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

potom

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Z toho okamžite máme # R_0 = R ^ (1/3) #, Môžeme tiež prirovnať exponentov # E #, ale poznamenávajúc, že sínus a kosínus sú periodické s periódou # # 2pi, potom z pôvodnej identity, # E ^ (itheta) # bude tiež. Potom máme

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # kde #k v ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # kde #k v ZZ #

Ako by sme však dodali # # 2pi znovu a znovu skončíme s rovnakými hodnotami, nadbytočné hodnoty môžeme ignorovať pridaním obmedzenia # theta_0 v 0, 2pi #, to znamená, #k v {0, 1, 2} #

Keď to všetko dáme dohromady, dostaneme súbor riešení

#zv {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4Pi) / 3)} #

Môžeme to previesť späť na # A + bi # pomocou identity

# e ^ (itheta) = cos (theta) + izín (theta) #

Uplatnenie vyššie uvedeného na problém:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Pomocou vyššie uvedeného procesu môžeme nájsť # 3 ^ "rd" # korene # Aj #:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) v {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

uplatnenie # e ^ (itheta) = cos (theta) + izín (theta) # máme

# i ^ (1/3) v jazyku {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Nakoniec v týchto hodnotách nahrádzame #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#zv {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #