odpoveď:
Ak je vektor # V # a lineárna transformácia vektorového priestoru # A # sú také #A (v) = k * v # (kde konštantný # K # sa nazýva eigenvalue), # V # sa nazýva eigenvector lineárnej transformácie # A #.
vysvetlenie:
Predstavte si lineárnu transformáciu # A # ťahanie všetkých vektorov faktorom #2# v trojrozmernom priestore. Akýkoľvek vektor # V # by sa zmenila na # # 2V, Preto sú pre túto transformáciu všetky vektory vektory s eigenvalue z #2#.
Uvažujme rotáciu trojrozmerného priestoru okolo osi Z o uhol # 90 ^ o #, Je zrejmé, že všetky vektory okrem tých, ktoré sú pozdĺž osi Z, zmenia smer, a preto nemôžu byť vektory, Ale tieto vektory pozdĺž osi Z (ich súradnice sú vo forme # 0,0, z #) si zachovajú svoj smer a dĺžku, preto sú vektory s eigenvalue z #1#.
Nakoniec zvážte rotáciu # 180 ^ o # v trojrozmernom priestore okolo osi Z. Ako predtým, všetky vektory s dlhou osou Z sa nezmenia, takže sú vektory s eigenvalue z #1#.
Okrem toho všetky vektory v rovine XY (ich súradnice sú vo forme # X, y, 0 #) zmení smer na opačný, pričom si zachová dĺžku. Preto sú tiež vektory s vlastné čísla z #-1#.
Akákoľvek lineárna transformácia vektorového priestoru môže byť vyjadrená ako násobenie vektora maticou. Prvý príklad napínania je napríklad opísaný ako násobenie maticou # A #
| 2 | 0 | 0 |
| 0 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 2 |
Takáto matica, vynásobená akýmkoľvek vektorom # V = {x, y, z} # bude vyrábať # A * v = {2x, 2y, 2z} #
To je zjavne rovnaké # 2 * v #, Takže máme
# A * v = 2 * v #, ktorý dokazuje, že akýkoľvek vektor # V # je eigenvector s eigenvalue #2#.
Druhý príklad (otočenie o # 90 ^ o # okolo osi Z) možno opísať ako násobenie maticou # A #
| 0 | -1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Takáto matica, vynásobená akýmkoľvek vektorom # V = {x, y, z} # bude vyrábať # A * v = {- y, x, z} #, ktoré môžu mať rovnaký smer ako pôvodný vektor # V = {x, y, z} # iba ak # X = y = 0 #, to znamená, ak je pôvodný vektor nasmerovaný pozdĺž osi Z.
