odpoveď:
Konverguje
vysvetlenie:
Zvážte sériu
teraz,
Na základe priameho porovnávacieho testu t
V skutočnosti je hodnota približne rovná
Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia {5+ (1 / n)} konverguje z n = 1 do nekonečna?
Nech: a_n = 5 + 1 / n potom pre ľubovoľné m, nv NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) ako n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n a ako 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Vzhľadom na akékoľvek reálne číslo epsilon> 0 vyberte potom celé číslo N> 1 / epsilon. Pre všetky celé čísla m, n> N máme: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, ktorý dokazuje Cauchyho stav pre konvergenciu sekvencie.
Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia {2 ^ -n} konverguje z n = 1 do nekonečna?
Použite vlastnosti exponenciálnej funkcie na určenie N, ako napríklad | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon pre každé m, n> N Definícia konvergencie uvádza, že {a_n} konverguje ak: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Takže, dané epsilon> 0 sa N> log_2 (1 / epsilon) a m, n> N s m <n Ako m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 tak | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Teraz ako 2 ^ x je vždy kladné, (1- 2 ^ (mn)) <1, takže 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) A ako 2
Ako určiť konvergenciu alebo divergenciu sekvencie a = ln (n ^ 2) / n?
Sekvencia konverguje Ak chcete zistiť, či postupnosť a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n konverguje, pozorujeme, čo a_n je n-> oo. (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Použitie l'Hôpitalovho pravidla, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Pretože lim_ (n-> oo) a_n je konečná hodnota, sekvencia konverguje.