Zoberme do úvahy 3 rovnaké kruhy s polomerom r v rámci danej kružnice s polomerom R, aby sa dotkli ostatných dvoch a daného kruhu, ako je znázornené na obrázku, potom je oblasť tieňovanej oblasti rovná?

Takto môžeme vytvoriť výraz pre oblasť tieňovanej oblasti:

#A_ "shaded" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "centrum" #

kde #A_ "center" # je plocha malej časti medzi tromi menšími kruhmi.

Ak chcete nájsť túto oblasť, môžeme nakresliť trojuholník prepojením centier troch menších bielych kruhov. Pretože každý kruh má polomer # R #, dĺžka každej strany trojuholníka je # # 2r a trojuholník je rovnostranný, takže majú uhly # 60 ^ o # každej z nich.

Môžeme teda povedať, že uhol stredovej oblasti je oblasť tohto trojuholníka mínus tri sektory kruhu. Výška trojuholníka je jednoducho #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, takže oblasť trojuholníka je # 1/2 * základňa * výška = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Plocha troch kruhových segmentov v tomto trojuholníku je v podstate rovnaká ako polovica jedného z kruhov (kvôli uhlom # 60 ^ o # každý, alebo #1/6# kruh, takže môžeme odvodiť celkovú plochu týchto sektorov # 1/2 pir ^ 2 #.

Nakoniec môžeme spracovať oblasť strednej oblasti, ktorá má byť #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Vráťme sa teda k nášmu pôvodnému výrazu

# Pir ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

odpoveď:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

vysvetlenie:

Dajme bielym kruhom polomer # R = 1 #, Centrá tvoria rovnostranný trojuholník #2#, Každý medián / nadmorská výška je #sqrt {3} # takže vzdialenosť od vrcholu k ťažisku je # 2/3 sqrt {3} #.

Ťažisko je stredom veľkého kruhu, takže je vzdialenosť medzi stredom veľkého kruhu a stredom malého kruhu. Pridáme malý polomer # R = 1 # získať

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Oblasť, ktorú hľadáme, je oblasť veľkého kruhu menšia ako rovnostranný trojuholník a zvyšok #5/6# každého malého kruhu.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sq {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Sme mierka # R ^ 2 # všeobecne.