Ak f (x) = x tan ^ -1ten f (1) je čo?

odpoveď:

# f (1) # kde #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

vysvetlenie:

Predpokladám, že otázka je # F (1) # kde #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Za normálnych okolností by som to liečil # # Arctan ako viachodnotové. Ale tu s explicitným označením funkcie # F (x) # Poviem, že chceme základnú hodnotu inverznej dotyčnice. Uhol s dotyčnicou 1 v prvom kvadrante je # 45 ^ okruh # alebo # Pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

To je koniec. Položme si však túto otázku stranou a zamerajme sa na to, čo #arctan t # naozaj znamená.

Zvyčajne si to myslím #tan ^ -1 (t) # alebo ekvivalentne (a myslím si, že lepšia notácia) #arctan (t) # ako viachodnotový výraz, "Funkcia" arctan nie je v skutočnosti funkciou, pretože je to inverzný prvok niečoho periodického, čo nemôže mať naozaj inverziu nad celou svojou doménou.

To je pre študentov a učiteľov naozaj mätúce. Zrazu máme veci, ktoré vyzerajú ako funkcie, ktoré nie sú naozaj funkčné. Tak trochu vkĺzli pod radar. Na ich riešenie sú potrebné nové pravidlá, ale nikdy nie sú výslovne uvedené. Matematika začína byť fuzzy, keď by nemala.

# x = arctan t # je najlepšie myslieť ako riešenie #tan x = t. Existuje ich početne nekonečný počet, jeden za periódu. Tangent má obdobie # # Pi takže riešenia sú # # Pi od seba, čo je miesto, kde #pi k # pochádza, celé číslo # K #.

Zvyčajne píšem hlavnú hodnotu inverzného tangenta ako Arctan, s kapitálom A. Bohužiaľ, Socratic ho „opravuje“. Budem ho tu vymýšľať:

#t = tan x # má riešenia

#x = arctan t = text {Arc} text {tan} (t) + pi k quad # pre celé číslo # K #.