Ako si vybrať dve čísla, pre ktoré je súčet ich štvorcových koreňov minimálny, s vedomím, že produkt týchto dvoch čísel je?

odpoveď:

# X = y = sqrt (a) #

vysvetlenie:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "je minimálny" #

# "Mohli by sme pracovať s multiplikátorom Lagrange L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Odvodenie výnosov:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(po vynásobení x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Teraz ešte musíme skontrolovať x = 0." #

# "Toto nie je možné, pretože x * y = 0."

# "Takže máme jedinečné riešenie" #

# X = y = sqrt (a) #

odpoveď:

Pokúsim sa vás prevziať nižšie uvedenou metódou riešenia.

vysvetlenie:

Čo hľadáme?

Dve čísla. Dajme im mená, #X# a # Y #.

Znova načítajte otázku.

Chceme, aby súčet štvorcových koreňov bol minimálny.

To nám hovorí dve veci

(1) obe čísla sú nezáporné (aby sa predišlo imaginárkam)

(2) Máme záujem o hodnotu # Sqrtx + sqrt #

Znova načítajte otázku.

Tiež sme povedali, že produkt #X# a # Y # je # A #.

Kto si vyberie # A #?

Všeobecne platí, že ak cvičenie hovorí niečo o # A # alebo # B # alebo # C #berieme tie ako konštanty dané niekým iným.

Takže by sme mohli povedať, že "produkt #X# a # Y # je #11#'

alebo. t #X# a # Y # je #124#'.

Všetky tieto riešenia by sme mali vyriešiť naraz # Xy = a # pre určitú konštantu # A #.

Chceme to urobiť # Sqrtx + sqrt # čo najmenšie # Xy = a # pre určitú konštantu # A #.

Vyzerá to ako problém optimalizácie a je to jeden. Chcem teda minimalizovať funkciu jednej premennej.

# Sqrtx + sqrt # má dve premenné, #X# a # Y #

# Xy = a # má tiež dve premenné, #X# a # Y # (pamätajte # A # je konštanta)

tak #y = a / x #

Teraz chceme minimalizovať:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Nájdite deriváciu, potom kritické číslo (čísla) a otestujte kritické číslo (čísla). Dokončenie je zistenie # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

kritický # # SQRT

#f '(x) <0 # pre #x <sqrta # a #f '(x)> 0 # pre #x> sqrta #, takže # F (sqrt) # je minimum.

#x = sqrta # a #y = a / x = sqrta #

odpoveď:

# 2 root (4) (a) #

vysvetlenie:

Vieme to #x_i> 0 # máme

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {frac {1} {n}} frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

potom

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # potom

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

ale # x_1x_2 = a # potom

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #