Ako to integrujete? X dx (x²-x + 1) Na tejto časti som uviazol (odovzdaný obrázok)

odpoveď:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

vysvetlenie:

Pokračovať…

nechať # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Pomocou antiderivatívneho čoho by sme sa mali venovať pamäti …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Toto je zložitý malý integrál a riešenie sa na prvý pohľad nezdá byť zrejmé. Keďže ide o zlomok, môžeme sa pokúsiť zvážiť použitie techniky parciálnych zlomkov, ale rýchla analýza ukazuje, že to nie je možné, pretože # X ^ 2-x + 1 # nie je faktorovateľný.

Pokúsime sa dostať tento integrál do formy, ktorú môžeme skutočne integrovať. Všimnite si podobnosť medzi # INT1 / (x ^ 2-x + 1) dx # a # INT1 / (x ^ 2 + 1) dx #; vieme, že druhý integrál vyhodnocuje # Arctanx + C #, Budeme sa preto snažiť získať # X ^ 2-x + 1 # vo forme #K (X-a) ^ 2 + 1 #a potom aplikujte # # Arctanx vládnuť.

Budeme musieť dokončiť námestie # X ^ 2-x + 1 #:

# X ^ 2-x + 1 #

# = X ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (Sqrt (3) / 2) 2 ^ ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (Sqrt (3) / 2) 2 ^ (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(veľmi chaotický, viem)

Teraz, keď ho máme v požadovanej forme, môžeme postupovať nasledovne:

# INT1 / (x ^ 2-x + 1) dx = INT1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2 x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #