Riešenie pomocou riemann integrálu?

odpoveď:

# 2 {{} ^}} {e ^ 2} # alebo cca 1.302054638 … #

vysvetlenie:

Najdôležitejšou identitou číslo jedna pri riešení akéhokoľvek problému s nekonečným produktom je jeho premena na problém nekonečných súčtov:

{pred = {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

DÔRAZ:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ale skôr ako to dokážeme, musíme sa najprv zaoberať # frac {1} {n ^ 2} v rovnici a btw nazývame nekonečným produktom L:

# L = lim_ {n + +} frac {1} {n ^ 2} pred {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n}} #

# = r {n + +} frac {1} {n ^ 2} pred {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

# = {{n + +} frac {n ^ 2} {n ^ 2} pred {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} = {{+}} {n}} = {{=}} {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {{}} {n}} #

Teraz to môžeme premeniť na nekonečný súčet:

# L = n {{+}} pred_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n} } = {{+ +}} exp súčet {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}}) #

použiť vlastnosti logaritmu:

# L = n {{+}} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

A pomocou limitných vlastností:

# L = exp n_ {n + +}} f_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Hovorme nekonečný súčet S:

# S = {{n} + {}} {k} 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

A majte na pamäti, že

# L = exp (S) #

Teraz vyriešime vašu otázku tak, že ju zmeníme z RIEMANN SUM až a DEFINITE INTEGRAL:

Pripomeňme si, že definícia súčtu Riemann je:

DÔRAZ:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = {{+}} +_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (ba {{}} {n} f })) * frac {ba} {n} #

nechať

{lim_ {n + +}} {_ = k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = {n + +} číslo_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Teraz, nech # f (x) = ln (1 + x ^ 2) a = 0 #

# f (k (f {{}} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

B = 1, t.j.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Z tohto dôvodu

# S = {{n} + {}} {k} 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Riešiť # {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

používať integráciu podľa častí:

# uv uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

nechať # u = ln (1 + x ^ 2) a v = 1 #

Potom použite reťazové pravidlo a deriváciu prirodzeného logaritmu # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

a použiť pravidlo napájania na získanie: č 1dx = x #

# ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Použiť pravidlo odčítania:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - intrac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - intrac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Použite pravidlo výkonu pre prvý integrál a druhý integrál je štandardná trigonometrická funkcia # arctan (x) # (inverzná funkcia tangenty)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

To znamená, # ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Teraz vyriešte definitívny integrál:

# S = int {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

vieme, že anti-derivát je # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #Tak

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

Všimnite si, že arctan (1) je 45 ° alebo #rac {pi} {4} # (pripomeňte si špeciálny pravouhlý trojuholník s dĺžkami strán 1,1, # Sqrt {2} # a uhly 45 °, 45 °, 90 °) a tiež # arctan (0) = 0 #

teda #S = ln (2) - 2 + 2 (frac {pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac {{}} {2} #

alebo cca 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac {pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ {frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2} {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Preto je riešenie {lim_ {n + +}} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n }} = frac {e ^ pi}} {e ^ 2} # alebo cca 1.302054638 … #