odpoveď:
Úplne sa zbieha.
vysvetlenie:
Použite test pre absolútnu konvergenciu. Ak vezmeme absolútnu hodnotu termínov, dostaneme sériu
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Toto je geometrický rad spoločných pomerov #1/4#, Tak sa zbieha. Od oboch # | A_n | # konverguje # # A_n absolútne konverguje.
Dúfajme, že to pomôže!
odpoveď:
# "Je to jednoduchá geometrická séria a úplne sa zbieha s" # # "suma" = 16/5 = 3.2. "#
vysvetlenie:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", za predpokladu, že | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Take" a = -1/4 ", potom máme" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Teraz je náš seriál štyrikrát väčší ako prvý termín je 4."
# "Takže náš seriál" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
odpoveď:
Geometrická séria úplne konverguje s
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
vysvetlenie:
Táto séria je určite striedavá séria; ale tiež vyzerá geometricky.
Ak sa nám podarí určiť spoločný pomer zdieľaný všetkými výrazmi, séria bude vo forme
#sum_ (n = 0) ^ óôá (r) ^ n #
Kde # A # je prvý termín a. t # R # je spoločný pomer.
Sumáciu budeme musieť nájsť pomocou vyššie uvedeného formátu.
Rozdeľte každý termín výrazom pred ním, aby ste určili spoločný pomer # R #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Táto séria je teda geometrická so spoločným pomerom # R = -1/4 #a prvý termín # A = 4. #
Môžeme napísať sériu ako
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Pripomeňme, že geometrické série #sum_ (n = 0) ^ óôá (r) ^ n # konverguje k # A / (1-r) # ak # | R | <1 #, Ak teda konverguje, môžeme tiež nájsť jeho presnú hodnotu.
Tu, # | R | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, takže séria konverguje:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Teraz sa rozhodujme, či to úplne konverguje.
# A_n = 4 (-1/4) ^ n #
Odstráňte striedavý záporný termín:
# A_n = 4 (1) ^ n (1/4) ^ n #
Vezmite absolútnu hodnotu, čo spôsobí, že striedavý záporný výraz zmizne:
# | A_n | = 4 (1/4) ^ n #
To znamená, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Vidíme # | R | = 1/4 <1 #, takže stále máme zbližovanie:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Séria sa úplne zhoduje s
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
