Aké sú asymptoty a odstrániteľné diskontinuity f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

odpoveď:

# F (x) # má horizontálnu asymptotu # Y = 0 # a vertikálnu asymptotu # X = 0 #

vysvetlenie:

Vzhľadom na to:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Doména čitateľa #sqrt (x) # je # 0, oo #

• Doména menovateľa # e ^ x - 1 # je # (- oo, oo) #

• Menovateľ je nula, keď # e ^ x = 1 #, ktorý pre reálne hodnoty. t #X# nastane iba vtedy, keď # X = 0 #

Preto je doménou # F (x) # je # (0, oo) #

Použitie série rozšírenie # E ^ x #, máme:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (biela) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (biela) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (biela) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

takže:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (biela) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (biela) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (biela) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

a:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

tak # F (x) # má vertikálnu asymptotu # X = 0 # a horizontálnu asymptotu # Y = 0 #

graf {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6,1, 13,9, -2,92, 7,08}