Nech 5a + 12b a 12a + 5b sú bočné dĺžky pravouhlého trojuholníka a 13a + kb je prepona, kde a, b a k sú kladné celé čísla. Ako zistíte najmenšiu možnú hodnotu k a najmenšie hodnoty a a b pre k?

odpoveď:

#k = 10 #, # A = 69 #, # B = 20 #

vysvetlenie:

Podľa Pytagorovej vety máme:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

To je:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (biela) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Odpočítajte ľavú stranu od oboch koncov, aby ste našli:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (biela) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

od tej doby #b> 0 # vyžadujeme:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Potom odvtedy #a, b> 0 # vyžadujeme # (240-26k) # a # (169-k ^ 2) # mať opačné znamenia.

Kedy #kv 1, 9 # oba # # 240-26k a # 169-k ^ 2 # sú pozitívne.

Kedy #k in 10, 12 # nájdeme # 240-26k <0 # a # 169-k ^ 2> 0 # podľa potreby.

Takže minimálna možná hodnota # K # je #10#.

potom:

# -20a + 69b = 0 #

Potom odvtedy #20# a #69# nemajú väčší spoločný faktor ako. t #1#, minimálne hodnoty # A # a # B # sú #69# a #20# resp.