Preukázať, že krivky x = y ^ 2 a xy = k rezať v pravom uhle, ak 8k ^ 2 = 1?

odpoveď:

#-1#

vysvetlenie:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

dve krivky sú

#x = y ^ 2 #

a

#x = sqrt (1/8) / y alebo x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

pre krivku #x = y ^ 2 #derivát vzhľadom na. t # Y # je # # 2y.

pre krivku #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #derivát vzhľadom na. t # Y # je # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

bod, v ktorom sa obe krivky stretnú, je kedy # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

od tej doby #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

bod, v ktorom sa krivky stretávajú, je # (1/2, sqrt (1/2)) #

kedy #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

gradient dotyčnice k krivke #x = y ^ 2 # je # 2sqrt (1/2) alebo 2 / (sqrt2) #.

kedy #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

gradient dotyčnice k krivke #xy = sqrt (1/8) # je # -2sqrt (1/8) alebo -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Hľadáme podmienku # K # tak, že krivky # X = y ^ 2 # a # Xy = k # "rez v pravých uhloch". Matematicky to znamená, že krivky by mali byť ortogonálne, čo znamená, že na všetkých miestach dotyčnice k krivkám pri akýkoľvek daný bod sú kolmé.

Ak skúmame rodinu kriviek pre rôzne hodnoty # K # dostaneme:

Okamžite si všimneme, že hľadáme jediný bod, kde tangenta je kolmá, takže vo všeobecnosti nie sú krivky vo všetkých bodoch ortogonálne.

Najprv nájdeme jednoposteľová koordinovať, # P #, priesečníka, ktorým je súčasné riešenie:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Nahradením Eq A do B dostaneme:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = koreň (3) (k) #

A tak vytvoríme súradnicu križovatky:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Potrebujeme tiež gradienty dotyčníc v tejto súradnici. Pre prvú krivku:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Takže gradient dotyčnice, # # M_1na prvú krivku na # P # je:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Podobne pre druhú krivku:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Takže gradient dotyčnice, # # M_2na druhú krivku na # P # je:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Ak sú tieto dve dotyčnice kolmé, potom požadujeme, aby:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Vedenie k danému výsledku:

# 8k ^ 2 = 1 t QED

A s touto hodnotou # K #