Matematicky odvodiť korene farby (biela) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

odpoveď:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # pre #n = 0, 1, 2 #

vysvetlenie:

Vzhľadom na to:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Trigonometrická substitúcia

Pretože táto kubická má #3# Skutočné nuly, Cardanoova metóda bude mať za následok výrazy zahŕňajúce ireducibilné kocky koreňov komplexných čísel. Cardanova metóda nie je nesprávna, ale nie je veľmi priateľská, pokiaľ korene kocky nemajú jednoduchú formu.

Ako alternatívu v takýchto prípadoch by som sa rozhodol použiť goniometrickú substitúciu.

nech:

#x = k cos theta #

Trik je vybrať # K # tak, že výsledný výraz obsahuje # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Máme:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (biela) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (biela) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (biela) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # s # K = 2 #

#color (white) (0) = 2cos 3theta - 1 #

takže:

#cos 3 theta = 1/2 #

takže:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # pre akékoľvek celé číslo # N #

takže:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # pre akékoľvek celé číslo # N #

To dá #3# odlišné možné hodnoty #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # pre #n = 0, 1, 2 #.