Existuje systematický spôsob, ako určiť počet čísiel medzi 10 a, povedzme, 50, deliteľné ich číslami jednotiek?

odpoveď:

Počet čísel medzi #10# a # # 10k deliteľné ich číslicami jednotiek môže byť reprezentované ako

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

kde #fl (x) # predstavuje funkciu podlahy, mapovanie #X# na najväčšie celé číslo menšie alebo rovné #X#.

vysvetlenie:

To je ekvivalentné k otázke, koľko celých čísel # A # a # B # existujú # 1 <= b <5 # a # 1 <= a <= 9 # a # A # delenie # 10b + a #

Poznač si to # A # delenie # 10b + a # ak a len vtedy, ak # A # delenie # 10b #, Stačí teda zistiť, koľko takýchto # B #existujú pre každého # A #, Všimnite si to # A # delenie # 10b # ak a len vtedy, ak každý z hlavných činiteľov # A # je tiež hlavným faktorom # 10b # s vhodnou multiplicitou.

Všetko, čo zostane, potom je prejsť každým # A #.

#a = 1 #: Ako všetky celé čísla sú deliteľné #1#, všetky štyri hodnoty pre # B # práca.

# A = 2 #: As #10# je deliteľné #2#, všetky štyri hodnoty pre # B # práca.

# A = 3 #: As #10# nie je deliteľná #3#, musíme mať # B # deliteľné #3#, to znamená, # B = 3 #.

# A = 4 #: As #10# je deliteľné #2#, musíme mať # B # ako deliteľné #2# mať vhodnú multiplicitu. To znamená, # B = 2 # alebo # B = 4 #.

# A = 5 #: As #10# je deliteľné #5#, všetky štyri hodnoty pre # B # práca.

# A = 6 #: As #10# je deliteľné #2#, musíme mať # B # ako deliteľné #3#, to znamená, # B = 3 #.

# A = 7 #: As #10# nie je deliteľná #7#, musíme mať # B # ako deliteľné #7#, ale #b <5 #, a tak nemá hodnotu # B # funguje.

# A = 8 #: As #10# je deliteľné #2#, musíme mať # B # ako deliteľné #4#, to znamená, # B = 4 #

# A = 9: # ako #10# nie je deliteľná #3#, musíme mať # B # ako deliteľné #3^2#, ale #b <5 #, a tak nemá hodnotu # B # funguje.

To uzatvára každý prípad, a tak ich pridávame, ako sa uvádza v otázke, #17# hodnôt. Táto metóda sa však dá ľahko rozšíriť na väčšie hodnoty. Napríklad, ak by sme chceli ísť od #10# na #1000#obmedzili by sme # 1 <= b <100 #, Potom sa pozrel na # A = 6 #, povedzme, mali by sme #2# delenie #10# a teda #6# delenie # 10b # ak a len vtedy, ak #3# delenie # B #, Existujú #33# násobky #3# v rozsahu pre # B #, a teda #33# čísla, ktoré končia v #6# a sú deliteľné #6# medzi #10# a #1000#.

V kratšom, ľahšie vypočítateľnom zápise, s použitím vyššie uvedených pozorovaní, môžeme zapísať počet celých čísel medzi #10# a # # 10k ako

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

kde #fl (x) # predstavuje funkciu podlahy, mapovanie #X# na najväčšie celé číslo menšie alebo rovné #X#.