Čo je kocka koreňa (sqrt3 -i)?

Začal by som konverziou čísla na trigonometrický formulár:

# Z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + ISIN (-pi / 6) #

Koreň kocky tohto čísla môže byť zapísaný ako:

# Z ^ (1/3) #

Teraz s týmto vedomím používam vzorec pre n-tú moc komplexného čísla v trigonometrickom tvare:

# Z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + ISIN (ntheta) # dávať:

# Z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + ISIN (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + ISIN (-pi / 18) #

V obdĺžnikovom tvare: # # 4.2-0.7i

Nemôžem úplne súhlasiť s odpoveďou Gió, pretože je neúplná a tiež (formálne) nesprávna.

Formálna chyba je v použití De Moivreho vzorec s exponentmi bez integerov. De Moivreho vzorec možno aplikovať len na celočíselné exponenty. Viac podrobností na stránke Wikipédie

Tam nájdete čiastočné rozšírenie vzorca, ktorým sa treba zaoberať # N #-th korene (zahŕňa extra-parameter # K #): ak # z = r (cos theta + i sin theta) #, potom

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # kde # k = 0, …, n-1 #.

Jeden (av určitom zmysle) základnou vlastnosťou komplexných čísel je to # N #- korene majú … # N # korene (riešenia)! Parameter # K # (ktorý sa líši #0# a # N-1 #, takže # N # hodnoty) nám umožňuje zhrnúť ich do jedného vzorca.

Takže kocky korene majú tri riešenia a nájsť len jeden z nich nestačí: je to jednoducho "#1/3# riešenia “.

Nižšie uvediem svoj návrh riešenia. Komentáre sú vítané!

Ako Gió správne navrhol, prvý krok je vyjadrenie # Z = sqrt {3} -i # v jeho trigonometrickom tvare #r (cos theta + i sin theta) #, Pri práci s koreňmi je trigonometrický formulár (takmer) vždy užitočným nástrojom (spolu s exponenciálnym). Dostanete:

# R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

tak # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Teraz chcete počítať korene. Podľa vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

kde # k = 0, 1, 2 #, Takže existujú tri rôzne hodnoty # K # (#0#, #1# a #2#), ktoré rodia tri rôzne zložité korene # Z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# # Z_0, # # Z_1 a # # Z_2 sú tri riešenia.

Geometrická interpretácia vzorca # N # korene je veľmi užitočné kresliť riešenia v zložitej rovine. Tiež spiknutie poukazuje veľmi pekne na vlastnosti vzorca.

V prvom rade si môžeme všimnúť, že všetky riešenia majú rovnakú vzdialenosť # R ^ {1 / n} # (v našom príklade #2^{1/3}#) od pôvodu. Takže všetky ležia na obvode s polomerom # R ^ {1 / n} #, Teraz musíme zdôrazniť kde umiestniť ich na tento obvod. Argumenty sine a cosine môžeme prepísať nasledujúcim spôsobom:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / nk) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

"Prvý" koreň zodpovedá # K = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Všetky ostatné korene sa dajú získať pridaním uhla # (2pi) / n # rekurzívne do uhla # Theta / n # vzhľadom na prvý koreň # # Z_0, Takže sa pohybujeme # # Z_0 na obvode otáčaním # (2pi) / n # radiány (# (360 °) / n #). Body sa teda nachádzajú na vrcholoch pravidelného # N #Gon. Vzhľadom na jeden z nich môžeme nájsť ostatných.

V našom prípade:

kde je modrý uhol # Theta / n = -pi / 18 # a purpurová je # (2pi) / n = 2/3 pi #.