Ak sa polomer gule zvyšuje rýchlosťou 4 cm za sekundu, ako rýchlo sa zvyšuje objem, keď je priemer 80 cm?

odpoveď:

12,800cm3s

vysvetlenie:

Jedná sa o klasické problémy súvisiace ceny. Myšlienkou Súvisiacich sadzieb je, že máte geometrický model, ktorý sa nemení, aj keď sa čísla menia.

Tento tvar napríklad zostane guľou, aj keď zmení veľkosť. Vzťah medzi objemom miesta a jeho polomerom je

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

Tak dlho, ako to geometrický vzťah nemení, keď guľa rastie, potom môžeme odvodiť tento vzťah implicitne a nájsť nový vzťah medzi mierou zmeny.

Implicitná diferenciácia je tá, kde odvodzujeme každú premennú vo vzorci av tomto prípade odvodzujeme vzorec s ohľadom na čas.

Takže berieme deriváciu našej sféry:

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

# (DV) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt #

# (DV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

Boli sme skutočne dali # (Dr) / (dt) #, to je # 4 (cm) / s #.

Máme záujem o okamih, kedy priemer je 80 cm polomer bude 40 cm.

Rýchlosť nárastu objemu je # (DV) / (dt) #, čo hľadáme, takže:

# (DV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

# (DV) / (dt) = 4Pi (40 cm) ^ 2 (4 (cm) / y)

# (DV) / (dt) = 4Pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / y)

# (DV) / (dt) = 4Pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / y)

# (DV) / (dt) = 12,800 (cm ^ 3) / s #

A jednotky dokonca fungujú správne, pretože by sme mali dostať objem rozdelený časom.

Dúfam, že to pomôže.