Y = f (x).Graf, y = f (3x) -2 a y = -f (x-1)?

odpoveď:

Nemáte po ruke grafický papier - tak dúfam, že tento popis pomáha!

vysvetlenie:

pre # Y = f (3x) -2 # najprv stlačiť grafu pozdĺž #X# os 3 (tak, že minimálna ľavá, povedzme, nastane na # X = -2/3 #) a potom stlačte celý graf nadol o 2 jednotky. Nový graf tak bude mať minimálnu hodnotu #x = -2 / 3 # s hodnotou # y = -2 #, maximálne na #(0,0)# a ďalšie minimum na úrovni #(4/3, -4)#

pre # Y = -f (x-1) # najprv premiestnite jednotku grafu 1 na správny, potom ho prevráťte hore nohami! Nový graf bude teda dva maxima na #(-1,0)# a #(5,2)# a minimálne na #(1,-2) #

odpoveď:

Tu je podrobnejšie vysvetlenie

vysvetlenie:

Problémy sú osobitné prípady všeobecnejšieho problému:

Vzhľadom k grafu pre # Y = f (x) #, čo je graf #y = a f (b x + c) + d # ?

(prvý je pre # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, zatiaľ čo druhá je pre # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Pokúsim sa vysvetliť odpoveď v krokoch, a to tak, že sa problém budem postupne riešiť. Bude to dosť dlhá odpoveď - ale dúfajme, že všeobecný princíp bude jasný až do konca.

Na ilustráciu budem používať konkrétnu krivku, ktorú zobrazujem nižšie, ale myšlienka bude fungovať všeobecne.

(Ak má niekto záujem, funkcia, ktorá sa tu vykresľuje, je #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Vzhľadom k grafu pre # Y = f (x) #, čo je graf #y = f (x) + d # ?

Toto je jednoduché - stačí si všimnúť, že ak # (X, y) # je bod na prvom grafe # (X, y + d) # je bod na druhom mieste. To znamená, že druhý graf je väčší ako prvý o vzdialenosť # D # (samozrejme, ak # D # je záporná, je nižšia ako prvý graf # | D | #).

Graf grafu # Y = f (x) + 1 # bude

Ako vidíte, graf pre #y = f (x) + 1 # (plná fialová čiara) sa získa jednoduchým stlačením grafu pre # Y = f (x) # (sivá prerušovaná čiara) hore jednou jednotkou.

Graf pre # Y = f (x) -1 # možno nájsť stlačením pôvodného grafu nadol o jednu jednotku:

2) Vzhľadom k grafu pre # Y = f (x) #, čo je graf #y = f (x + c) # ?

Je ľahké to vidieť, ak # (X, y) # je bod na # Y = f (x) # grafu # (X-c, y) # bude bod na #y = f (x + c) # Graf. To znamená, že môžete získať graf #y = f (x + c) # z grafu #y = f (x) # jednoducho presunutím na ľavý podľa # C # (samozrejme, ak # C # je negatívny, musíte posunúť pôvodný graf o # | C | # doprava.

Napríklad graf pre # Y = f (x + 1) # možno nájsť stlačením pôvodného grafu na ľavý o jednu jednotku:

kým to # Y = f (x-1) # zahŕňa posunutie pôvodného grafu na správny o jednu jednotku:

3) Vzhľadom k grafu pre # Y = f (x) #, čo je graf #y = f (bx) # ?

od tej doby #f (x) = f (b krát x / b) # z toho vyplýva, že ak # (X, y) # je bod na #y = f (x) # grafu # (x / b, y) # je bod na # Y = f (bx) # Graf.

To znamená, že pôvodný graf musí byť vyžmýkaný faktorom # B # pozdĺž #X# Os. Samozrejme, že mačká # B # je naozaj preťahovanie podľa # 1 / b # pre prípad, keď. t # 0 <b <1 #

Graf pre # Y = f (2x) # je

Všimnite si, že zatiaľ čo výška zostane rovnaká pri 1, šírka sa zmenší o faktor 2. Najmä sa špička pôvodnej krivky posunula z # X = 1 # na # X = 1/2 #.

Na druhej strane graf pre # Y = f (x / 2) # je

Všimnite si, že tento graf je dvojnásobne širší (stláčaním o #1/2# je rovnaký ako ťahanie faktorom 2) a vrchol sa tiež posunul z # X = 1 # na # X = 2 #.

Osobitne sa musí uviesť prípad, keď # B # je negatívny. Je najlepšie, ak si to predstavíme ako dvojstupňový proces

• Najprv nájdite graf # Y = f (-x) #, a potom
• vytlačiť výsledný graf podľa # | B | #

Všimnite si, že pre každý bod # (X, y) # grafu, bod # (- x, y) # je bod na grafe # Y = f (-x) # - takže nový graf možno nájsť tým, že odráža ten starý o # Y # Os.

Ako ilustráciu dvojstupňového procesu je potrebné zvážiť graf # Y = f (-2x) # zobrazené nižšie:

Tu pôvodnej krivky, že pre # Y = f (x) # je najprv otočil o # Y # pre získanie krivky pre # Y = f (-x) # (tenká azúrová čiara). To je potom stlačené faktorom #2# získať krivku pre # Y = f (-2x) # - hustá fialová krivka.

4) Vzhľadom k grafu pre # Y = f (x) #, čo je graf #y = af (x) # ?

Vzor je tu rovnaký - ak # (X, y) # je potom bod na pôvodnej krivke # (X, ay) # je bod na grafe # Y = af (x) #

To znamená, že pre pozitívne # A #graf sa natiahne faktorom # A # pozdĺž # Y # Os. Opäť platí, že hodnota # A # medzi 0 a 1 znamená, že namiesto napínania bude krivka skutočne stlačená faktorom # 1 / a # pozdĺž # Y # Os.

Nižšie uvedená krivka je pre # y = 2f (x) #

Všimnite si, že zatiaľ čo vrchol je na rovnakej hodnote #X# - jeho výška sa zdvojnásobila na 2 z 1. Samozrejme to nie je len ten vrchol, ktorý bol pretiahnutý # Y # súradnice každého bodu pôvodnej krivky sa zdvojnásobila, aby sa získala nová krivka.

Nasledujúci obrázok znázorňuje stlačenie, ku ktorému dôjde, keď #0<>

Ešte raz, prípad #A <0 # vyžaduje osobitnú starostlivosť - a je lepšie, ak to urobíte v dvoch krokoch

1. Najprv otočte krivku hore nohami o #X# pre získanie krivky pre # Y = f (x) #
2. Natiahnite krivku o # | A | # pozdĺž # Y # Os.

Krivka pre # Y = f (x) # je

zatiaľ čo obrázok uvedený nižšie ilustruje dva kroky spojené s kreslením krivky pre #y = -2f (x) #

Dávať to všetko dokopy

Teraz, keď sme prešli jednotlivými krokmi, dajme ich dohromady! Postup pre kreslenie krivky pre

# y = a f (bx + c) + d #

počnúc od # Y = f (x) # v podstate pozostáva z nasledujúcich krokov

1. Zostrojte krivku # Y = f (x + c) #: posun grafu o vzdialenosť # C # doľava
2. Potom plot, že #y = f (bx + c) #: stlačte krivku, ktorú dostanete z kroku 1 v #X# faktorom # | B | #, (najprv to prehodí okolo # Y # os, ak #b <0 #)
3. Potom graf grafu # Y = af (bx + c) #: mierka krivky, ktorú ste dostali z kroku 2 na faktor # A # vo vertikálnom smere.
4. Nakoniec zatlačte krivku, ktorú dostanete v kroku 3, o vzdialenosť # D # konečný výsledok.

Samozrejme, že musíte vykonať všetky štyri kroky len v extrémnych prípadoch - často sa vykoná menší počet krokov! Dôležitá je aj postupnosť krokov.

V prípade, že vás zaujíma, tieto kroky vyplývajú zo skutočnosti, že ak # (X, y) # je bod na # Y = f (x) # graf, potom bod

# ({x-c} / b, ay + d) # je na # Y = af (bx + c) + d # Graf.

Dovoľte mi ilustrovať proces príkladom s našou funkciou # F (x) #, Pokúsme sa zostaviť graf pre #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Po prvé - posun doľava o 3 jednotky

Potom: stlačiť faktor 2 pozdĺž #X# os

Potom otočením grafu o #X# a potom škálovanie faktorom 2 spolu # Y #

Nakoniec posun krivky o 1 jednotku - a my sme hotovo!