Nech vec (v_1) = [(2), (3)] a vec (v_1) = [(4), (6)] čo je rozpätie vektorového priestoru definovaného vec (v_1) a vec (v_1)? Podrobne vysvetlite svoju odpoveď?

odpoveď:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdainF #

vysvetlenie:

Typicky hovoríme o rozpätie množiny vektorov, a nie celého vektorového priestoru. Potom budeme pokračovať v skúmaní rozpätia # {Vecv_1, vecv_2} # v rámci daného vektorového priestoru.

Rozpätie množiny vektorov vo vektorovom priestore je množina všetkých konečných lineárnych kombinácií týchto vektorov. To znamená, že vzhľadom na podmnožinu # S # vektorového priestoru nad poľom # F #, máme

# "Span" (S) = ninNN, s_iinS, lambda_iinF #

(množina všetkých konečných súčtov, pričom každý výraz je produktom skalárneho a elementu # S #)

Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že daný vektorový priestor je nad nejakým podpolím # F # z # CC #, Pri použití vyššie uvedenej definície:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambda_iinF #

# = lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 #

Ale všimnite si to # vecv_2 = 2vecv_1 #, a tak pre každého # Lambda_1, lambda_2inF #,

# Lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 = lambda_1vecv_1 + lambda_2 (2vecv_1) = (lambda_1 + 2lambda_2) vecv_1 #

Potom, ako akákoľvek lineárna kombinácia # # Vecv_1 a # # Vecv_2 môže byť vyjadrený ako skalárny násobok # # Vecv_1a akýkoľvek skalárny násobok # # Vecv_1 môže byť vyjadrená ako lineárna kombinácia # # Vecv_1 a # # Vecv_2 nastavením # Lambda_2 = 0 #, máme

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdavecv_1 #