Dva satelity P_ "1" a P_ "2" sa otáčajú v orbitách s polomermi R a 4R. Pomer maximálnych a minimálnych uhlových rýchlostí priamky spájajúcej P_ "1" a P_ "2" je ??

odpoveď:

#-9/5#

vysvetlenie:

Podľa tretieho zákona Keplera, # T ^ 2 propto R ^ 3 znamená omega propto R ^ {- 3/2} #, ak je uhlová rýchlosť vonkajšieho satelitu # Omega #, to vnútorného #omega krát (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Uvažujme # T = 0 # byť okamihom, keď sú dva satelity kolineárne s materskou planétou, a vezmime si túto spoločnú líniu ako #X# Os. Potom súradnice oboch planét v čase # T # sú # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # a # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, resp.

nechať # # Theta je uhol, ktorý čiara spájajúca dva satelity vytvára s #X# Os. Je to ľahké vidieť

#tantheta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t))) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Diferenciálne výnosy

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sín (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 krát #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) # #

teda

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sín (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega) t))) 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) # #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) znamená #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) znamená #

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 - 8 cos (7 omega t)) ekv. 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Kde je funkcia

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

má derivát

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

a preto sa v intervale monotónne znižuje #-1,1#.

To znamená, že uhlová rýchlosť # (d theta) / dt # je maximálne, keď #cos (7 omega t) # je minimálna a naopak.

takže, # ((d theta) / dt) "max" = 12 omega (2 - 3 krát (-1)) / (17-8 krát (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega krát 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) "min" = 12 omega (2 - 3 krát 1) / (17 - 8 krát 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega krát (-1) / 9 = -4/3 omega #

a tak je pomer medzi týmito dvoma hodnotami:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Poznámka Skutočnosť, že # (d theta) / dt # zmeny je príčinou tzv