Aký je sklon priamky priamky k dotyčnici priamky f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) pri x = (15pi) / 8?

odpoveď:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Interaktívny graf

vysvetlenie:

Prvá vec, ktorú budeme musieť urobiť, je vypočítať # F '(x) # na #x = (15pi) / 8 #.

Urobme tento termín termínom. Pre # S ^ 2 (x) # termín, všimnite si, že máme v sebe dve funkcie: # X ^ 2 #a #sec (x) #, Preto budeme musieť použiť pravidlo reťazca:

# d / dx (sek (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sek (x)) #

#color (modrá) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Pre druhý termín budeme musieť použiť pravidlo produktu. takže:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = farba (červená) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + farba (červená) (d / dxcos (x-pi / 4))(X)#

#color (modrá) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Možno sa čudujete, prečo sme pre túto časť nepoužívali reťazové pravidlo, pretože máme # (x - pi / 4) # vnútri kosína. Odpoveď je implicitne, ale my sme to ignorovali. Všimnite si, ako derivácia # (x - pi / 4) # je jednoducho 1? Preto, násobenie, že na nemení nič, takže to nepíšeme do výpočtov.

Teraz sme všetko dali dohromady:

# d / dx (sek ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = farba (fialová) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4) 4)) #

Sledujte svoje znamenia.

Teraz musíme nájsť sklon priamky tangenciálnej # F (x) # na #x = (15pi) / 8 #, Aby sme to urobili, jednoducho túto hodnotu zapojíme do # F '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = farba (fialová) (~ ~ -6,79) #

Avšak to, čo chceme, nie je čiara tangentná k f (x), ale riadok normálne k tomu. Aby sme to dosiahli, jednoducho vezmeme negatívny recipročný svah nad ním.

#m_ (norma) = -1 / -15.78 farieb (fialová) (~ ~ 0.015) #

Teraz sme všetko, čo sa zmestí do bodu svahu:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Pozrite sa na tento interaktívny graf a zistite, ako to vyzerá!

Dúfam, že to pomohlo:)