odpoveď:
# {: ("Kritický bod", "Záver"), ((0,0,0), "sedlo"):} #
vysvetlenie:
Teória na identifikáciu extrémov
- Riešiť súčasne kritické rovnice
# (čiastočné f) / (čiastočné x) = (čiastočné f) / (čiastočné y) = 0 t (tj# F_x = f_y = 0 # ) - Ohodnotiť
#f_ (x x), f_ (yy) a f_ (xy) (= f_ (yx)) # v každom z týchto kritických bodov. Preto hodnotiť# Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # v každom z týchto bodov - Určite charakter extrému;
# {: (Delta> 0, "Existuje minimum, ak" f_ (xx) <0), (, "a maximum, ak" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "je sedlo"), (Delta = 0, je potrebná ďalšia analýza):} #
Takže máme:
# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #
# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #
Nájdime prvé čiastkové deriváty:
# (čiastočné f) / (čiastočné x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} # #
# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #
# (čiastočné f) / (čiastkové y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #
# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #
Takže naše kritické rovnice sú:
# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
Z týchto rovníc máme:
# y = 0 # alebo# e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #
# x = 0 # alebo# e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #
Jediné súčasné riešenie je
A tak máme jeden kritický bod pri vzniku
Pozrime sa teraz na druhé čiastkové deriváty, aby sme mohli určiť podstatu kritického bodu (citujem tieto výsledky):
# (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #
# (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #
# (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné x čiastočné y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) t (= (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné y čiastkové x)) #
A musíme vypočítať:
# Delta = (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné x ^ 2) (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné y ^ 2) - ((čiastočné ^ 2f) / (čiastočné x čiastočné y)) ^ 2 #
v každom kritickom bode. Druhé čiastkové derivačné hodnoty,
# {: ("Kritický bod", (čiastočný ^ 2f) / (čiastočný x ^ 2), (čiastočný ^ 2f) / (čiastočný y ^ 2), (čiastočný ^ 2f) / (čiastočný x čiastočný y), Delta, "Záver"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "vrátane":} #
Takže po všetkých tých prácach je skôr sklamaním, že sa nám podarí dosiahnuť inkluzívny výsledok, ale ak preskúmame správanie okolo kritického bodu, môžeme ľahko zistiť, že ide o sedlový bod.
Tieto kritické body môžeme vidieť, ak sa pozrieme na 3D graf:
Aké sú extrémne a sedlové body f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Doména definície: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval xv (0, + oo). Vyhodnoťte prvý a druhý derivát funkcie: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritické body sú riešenia: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 a ako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tomto bode: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, takže kritický bod je lokálne minimum. Sedlové body sú riešenia: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 a ako f '' (x) je monotónne zväčše
Aké sú extrémy a sedlové body f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?
Táto funkcia nemá žiadne stacionárne body (ste si istí, že f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x je ten, ktorý ste chceli študovať ?!). Podľa najviac rozptýlenej definície sedlových bodov (stacionárne body, ktoré nie sú extrémmi) hľadáte stacionárne body funkcie v jej oblasti D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) v RR ^ 2}. Teraz môžeme prepísať výraz daný pre f nasledujúcim spôsobom: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Spôsob, ako ich identifikovať, je hľadať body, ktoré rušia gradient f, čo je ve
Aké sú extrémne a sedlové body f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{: ("Kritický bod", "Záver"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Teória na identifikáciu extrémov z = f (x, y) je: Vyriešiť súčasne kritické rovnice (čiastočné f) / (čiastkové x) = (čiastočné f) / (čiastočné y) = 0 (tj z_x = z_y = 0) Vyhodnoťte f_ (xx), f_ (yy) a f_ (xy) (= f_ (yx)) v každom z týchto kritických bodov , Preto vyhodnotiť Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 v každom z týchto bodov Určiť povahu extrému; {: (Delta> 0, "Existu