Aká je rovnica paraboly so zameraním na (-15, -19) a directrix y = -8?

odpoveď:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

vysvetlenie:

Pretože directrix je horizontálna čiara, vieme, že parabola je vertikálne orientovaná (otvára sa buď hore alebo dole). Pretože y súradnice zaostrenia (-19) pod directrix (-8), vieme, že parabola sa otvára. Vrcholová forma rovnice pre tento typ paraboly je:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Kde h je súradnica x vrcholu, k je y koordinovaná vrcholom a ohnisková vzdialenosť, f, je polovica podpísanej vzdialenosti od directrix k fokusu:

#f = (y _ ("focus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Súradnica y vrcholu, k, je f plus súradnica y priamky:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

Súradnica x vrcholu, h, je rovnaká ako súradnica x ohniska:

#h = -15 #

Nahradenie týchto hodnôt do rovnice 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Zjednodušenie:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

odpoveď:

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

vysvetlenie:

Parabola je lokus bodu, ktorý sa pohybuje tak, že jeho vzdialenosť od čiary, nazývanej directix, a bod, nazývaný fokus, sú rovnaké.

Vieme, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi # (X_1, y_1) # a # X_2, y_2) # je daný #sqrt ((x_2-x 1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # a

vzdialenosť medzi bodom # (X_1, y_1) # a riadok # Ax + o + c = 0 # je # | Ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Teraz vzdialenosť bodu # (X, y) # na parabolu od zamerania na. t #(-15,-19)# je #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

a jeho vzdialenosť od directrixu # Y = -8 # alebo # Y + 8 = 0 # je # | Y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Preto by bola rovnica paraboly

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # alebo

# (X + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # alebo

# X ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # alebo

# X ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

graf {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56,5, 23,5, -35,28, 4,72}