(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Urobme to ???

odpoveď:

#a = 1, b = 1 #

vysvetlenie:

Riešenie tradičného spôsobu

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Teraz riešenie # A #

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # ale # A # musí byť reálna, takže podmienka je

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # alebo # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

teraz nahrádzať a riešiť # A #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # a roztok je

#a = 1, b = 1 #

Ďalší spôsob, ako urobiť to isté

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

ale

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

a uzatváranie

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

odpoveď:

D. Existuje presne jeden pár riešení # (a, b) = (1, 1) #

vysvetlenie:

Vzhľadom na to:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Všimnite si, že to môžeme urobiť pekným symetrickým homogénnym problémom zovšeobecnením na:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

potom nastavte # C = 1 # nakoniec.

Rozšírením oboch strán tohto všeobecného problému máme:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Odčítaním ľavej strany z oboch strán dostaneme:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (biela) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (biela) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Pre skutočné hodnoty # A #, # B # a # C #, toto môže mať len ak sú všetky # (A-b) #, # (B-c) # a # (C-a) # sú nulové a preto:

#a = b = c #

Potom uvedenie # C = 1 # nájdeme jediné riešenie pôvodného problému, konkrétne # (a, b) = (1, 1) #