Ako vyriešiť inte ^ xcosxdx?

odpoveď:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

vysvetlenie:

# I = int ^ x cos (x) "d" x #

Budeme používať integráciu podľa častí, ktorá to hovorí #int u d "v = uv-int v" d "u #.

Použite integráciu podľa častí, s # U = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #a # V = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) d) x #

Použite opätovné zapojenie častí do druhého integrálu, s # U = e ^ x #, # "d" u = e ^ x t, # "d" v = sin (x) ta # V = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) d) x #

Teraz si pripomíname # I = int ^ x cos (x) "d" x #, Vyššie uvedená rovnica sa teda stáva nasledujúcim (pamätajúc na pridanie konštanty integrácie):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Použitie de Moivreho identity

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # máme

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

ale #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

a nakoniec

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #