Polčas rozpadu kobaltu 60 je 5 rokov. Ako získate exponenciálny model rozpadu pre kobalt 60 vo forme Q (t) = Q0e ^ kt?

odpoveď:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

vysvetlenie:

Nastavili sme diferenciálnu rovnicu. Vieme, že rýchlosť zmeny kobaltu je úmerná množstvu prítomného kobaltu. Vieme tiež, že ide o model úpadku, takže bude existovať negatívny znak:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Toto je pekný, jednoduchý a oddeliteľný ekvalizér:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# implikuje ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Zdvihnite každú stranu k exponenciálu:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Teraz, keď poznáme všeobecnú formu, musíme zistiť, čo # K # je.

Nech je poločas života označený # Tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#therefore 1/2 = e ^ (- ktau) #

Vezmite prirodzené polená z oboch strán:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Pre čistotu prepíšte #ln (1/2) = -ln (2) #

#therefore k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) yr ^ (- 1) #

#therefore Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #