Ako vyhodnotím cos (pi / 5) bez použitia kalkulačky?

odpoveď:

(# # Pi / 5) = cos 36 ° = (# # SQRT5 + 1)/4.

vysvetlenie:

ak # # Theta = # # Pi/ 10, potom 5# # Theta = # # Pi/2 #=># cos3# # Theta = sin2# # Thetacos (# # Pi /2 - # Alfa #) = hriech# Alfa #}.

#=># 4# cos ^ 3 # # # Theta - 3cos# # Theta = 2sin# # Thetacos# # Theta#=># 4 # Cos ^ 2 ## # Theta - 3 = 2 hriechy # # Theta.

#=># 4 (1 - # Sin ^ 2 # # # Theta) - 3 = 2 hriechy# # Theta. #=># 4# Sin ^ 2 # # # Theta+ 2sin# # Theta - 1 = 0#=>#

hriech# # Theta =(# # SQRT 5 - 1) /4.

Teraz cos 2# # Theta = cos # # Pi/5 = 1 - 2# Sin ^ 2 # # # Theta, dáva výsledok.

odpoveď:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

vysvetlenie:

nechať #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #, teda #cos (4 * pi / 5) = -a #, Zo vzorcov s dvojitým uhlom:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

odčítanie, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# A + b # nie je nula, pretože obidva pojmy sú pozitívne, takže # A-b # musí byť #1/2#, potom

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

a jediným pozitívnym koreňom je

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

a #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.