Je f (x) = e ^ x / x-x ^ 3-3 konkávne alebo konvexné pri x = -1?

odpoveď:

# # Konvexné

vysvetlenie:

Skontrolujte, či je funkcia konvexná alebo konkávna, musíme nájsť# F '' (x) #

ak #COLOR (hnedá) (f '' (x)> 0) # potom #COLOR (hnedá) (f (x)) # je #COLOR (hnedá) (konvexný) #

ak #COLOR (hnedá) (f '' (x) <0) # potom #COLOR (hnedá) (f (x)) # je #COLOR (hnedá) (konkávne) #

najprv nájdeme #COLOR (modrá), (f '(x)) #

# F '(x) = ((e ^ x) / x)' - (x ^ 3) '- (3)' #

# F '(x) = (xe ^ xe ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2-0 #

#COLOR (modrá), (f '(x) = (xe ^ xe ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2) #

Poďme nájsť #COLOR (červená) (f '' (x)) #

#f '' (x) = ((xe ^ x-e ^ x) 'x ^ 2- (x ^ 2)' (xe ^ x-e ^ x)) / (x ^ 2) ^ 2-6x #

# F '' (x) = ((e ^ x + xe ^ xe ^ x) x ^ 2-2x (xe ^ xe ^ x)) / x ^ 4-6x #

# F '' (x) = (x ^ 3e ^ x-2x ^ 2e ^ x-2xe ^ x) / x ^ 4-6x #

Zjednodušte tento zlomok #X#

#COLOR (červená) (f '' (x) = (x ^ 2e ^ x-2xe ^ x-2e ^ x) / x ^ 3-6x) #

Poďme spočítať #COLOR (hnedá) (f '' (- 1) #

# F '' (- 1) = ((- 1) ^ 2e ^ (- 1) -2 (1) e ^ (- 1) -2E ^ (- 1)) / (- 1) ^ 3-6 (-1) #

# F '' (- 1) = (e ^ (- 1) + 2e ^ (- 1) -2E ^ (- 1)) / (- 1) + 6 #

#COLOR (hnedá) (f '' (- 1) = - e ^ (- 1) 6) #

#COLOR (hnedá) (f '' (- 1)> 0 #

takže,#f '' (x)> 0 # na # X = -1 #

Z tohto dôvodu# F (x) # je covex na # X = -1 #

graf {e ^ x / x - x ^ 3 - -20, 20, -20, 20}