U_1, u_2, u_3, ... sú v geometrickom postupe (GP). Spoločný pomer termínov v sérii je K.Now určiť súčet sérií u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) vo forme K a u_1?

odpoveď:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

vysvetlenie:

Všeobecný termín geometrického postupu môže byť napísaný:

#a_k = a r ^ (k-1) #

kde # A # je počiatočný termín a. t # R # spoločný pomer.

Suma do # N # termíny sú dané vzorcom:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#COLOR (biely) () #

S informáciami uvedenými v otázke, všeobecný vzorec pre # # U_k môže byť napísané:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Poznač si to:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

takže:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = súčet (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (biela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (biela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # kde # A = u_1 ^ 2K # a #r = K ^ 2 #

#color (biela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (biela) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n)) / (1-K ^ 2) #