Aké sú zložité čísla?

Komplexné čísla sú čísla formulára # A + bi # kde # A # a # B # sú reálne čísla a # Aj # je definované ako # I = sqrt (-1) #.

(Vyššie uvedené je základná definícia zložitých čísel. Čítajte ďalej o nich.)

Podobne ako sme označili množinu reálnych čísel ako # RR #, označujeme množinu komplexných čísel ako # CC #, Všimnite si, že všetky reálne čísla sú tiež zložité čísla, ako akékoľvek reálne číslo #X# môže byť napísané ako # X + 0i #.

Vzhľadom na zložité číslo # Z = a + bi #, hovoríme to # A # je skutočnú časť komplexného čísla (označené # "Re" (z) #) a # B # je imaginárnej časti komplexného čísla (označené # "Im" (z) #).

Vykonávanie operácií s komplexnými číslami je podobné vykonávaniu operácií na dvojzložkách. Vzhľadom na dve zložité čísla # z_1 = a_1 + b_1i # a # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (pamätajte # I = sqrt (-1) #)

# = (A_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((A_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((A_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Pre rozdelenie sme použili fakt, že # (A + bi) (a-b) = a ^ 2 + b ^ 2 #, Vzhľadom na zložité číslo # Z = a + bi # voláme # A-bi # komplexný konjugát z # Z # a označujú ho #bar (z) # Je to užitočná vlastnosť (ako je vidieť vyššie), že #zbar (z) # je vždy reálne číslo.

Komplexné čísla majú mnoho užitočných aplikácií a atribútov, ale ten, s ktorým sa často stretávame skôr, je ich použitie v faktoringových polynómoch. Ak sa obmedzíme len na reálne čísla, polynóm, ako napr # X ^ 2 + 1 # nemôžeme ďalej uvažovať, ak však dovolíme komplexné čísla, potom máme # X ^ 2 + 1 = (x + i) (x-I) #.

V skutočnosti, ak dovolíme zložité čísla, potom akýkoľvek jedno premenlivého polynómu stupňa # N # môže byť napísaný ako výrobok # N # lineárne faktory (prípadne s niektorými z nich). Tento výsledok je známy ako základná veta algebry a, ako už názov napovedá, je veľmi dôležité pre algebru a má široké uplatnenie.