Dokážte, že prvok integrálnej domény je jednotka, ak generuje doménu.

Dokážte, že prvok integrálnej domény je jednotka, ak generuje doménu.
Anonim

odpoveď:

Tvrdenie je nepravdivé.

vysvetlenie:

Zvážte kruh čísel formulára:

# A + bsqrt (2) #

kde #a, bv QQ #

Toto je komutatívny kruh s multiplikatívnou identitou #1 != 0# a žiadne deliče nuly. To znamená, že je integrálnou doménou. V skutočnosti je to tiež pole, pretože každý nenulový prvok má multiplikatívnu inverziu.

Multiplikatívna inverzia nenulového prvku formulára:

# a + bsqrt (2) "" # je # "" a / (a ^ 2-2b ^ 2) -b / (a ^ 2-2b ^ 2) sqrt (2) #.

Potom akékoľvek nenulové racionálne číslo je jednotka, ale nevytvára celý kruh, pretože podriadený vygenerovaný bude obsahovať iba racionálne čísla.