Aká je metóda expanzie kofaktora na nájdenie determinantu?

Ahoj !

nechať #A = (a_ {i, j}) # byť matica veľkosti n # n.

Vyberte stĺpec: číslo stĺpca # # J_0 (Píšem: " # # J_0stĺpca ").

vzorec rozšírenia kofaktora (alebo Laplaceov vzorec) # # J_0- stĺpec je

# det (A) = súčet {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

kde # Delta_ {i, j_0} # je determinant matice # A # bez jeho # Aj #riadok a jeho # # J_0- stĺpec; áno, # Delta_ {i, j_0} # je určujúcim faktorom veľkosti # (n-1) #.

Všimnite si, že číslo # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # sa nazýva kofaktor miesta # (I, j_0) #.

Možno to vyzerá ako komplikované, ale je to ľahké pochopiť s príkladom. Chceme počítať # D #:

Ak sa vyvinie na 2. stĺpci, dostanete

tak:

A konečne, # D = 0 #.

Ak chcete byť efektívny, musíte si vybrať riadok, ktorý má veľa núl: suma bude veľmi jednoduchá pre výpočet!

Poznámka, pretože # det (A) = det (A ^ {T}) #, môžete tiež zvoliť riadok skôr stĺpec. Vzorec sa tak stáva

# det (A) = súčet {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

kde # # I_0 je číslo zvoleného riadku.