Aké sú extrémy a sedlové body f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

odpoveď:

Bod sedla na začiatku.

vysvetlenie:

Máme:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

A tak odvodíme čiastkové deriváty. Pamätajte si, keď čiastočne rozlišujeme, že rozlišujeme danú premennú, zatiaľ čo ostatné premenné považujeme za konštantné. A tak:

# (čiastočné f) / (čiastočné x) = 2-y-y ^ 2 t a # (čiastočné f) / (čiastočné y) = x ^ 2-2yx #

V extrémnych alebo sedlových bodoch máme:

# (čiastočné f) / (čiastočné x) = 0 t a # (čiastočné f) / (čiastočné y) = 0 t súčasne:

simultánne riešenie:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Preto existuje len jeden kritický bod na počiatku #(0,0)#, Na stanovenie charakteru kritického bodu sa vyžadujú analytici multi-variabilnej série Taylor a výsledky testov:

# Delta = (čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné x ^ 2) (čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné y ^ 2) - {(čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné x čiastočné y)} ^ 2 <0 => # bod sedla

Vypočítame teda druhé čiastkové deriváty:

# (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné x ^ 2) = 2y t;# (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné y ^ 2) = -2x t a # (čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné x čiastočné y) = 2x-2y #

A tak kedy # x = 0, y = 0 # dostaneme:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

To znamená, že štandardný sedlový test je zahrnutý a vyžaduje sa ďalšia analýza. (Toto by typicky zahŕňalo pozeranie sa na znaky funkcie naprieč rôznymi rezmi, alebo pozeranie na tretí čiastkový derivátový test, ktorý je mimo rámca tejto otázky!).

Môžeme sa tiež pozrieť na 3D graf a nakresliť rýchly záver, že kritický bod zodpovedá sedlovému bodu: