Prečo je dokončenie námestia užitočné? + Príklad

odpoveď:

Zjednodušiť kvadratické výrazy tak, aby sa stali riešiteľnými štvorcovými koreňmi.

vysvetlenie:

Vyplnenie štvorca je príkladom transformácie Tschirnhaus - použitie substitúcie (aj keď implicitne) s cieľom znížiť polynomiálnu rovnicu na jednoduchšiu formu.

Takto dané:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # s #a! = 0 #

mohli by sme napísať:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (biela) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (biela) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (biela) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (biela) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac) #

#color (biela) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Z toho dôvodu:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

takže:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Takže keď sme začali s kvadratickou rovnicou vo forme:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

dostali sme ho do formy # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # s #t = (2ax + b) # a # K = sqrt (b ^ 2-4ac) #, čím sa eliminuje lineárny termín, ktorý ponecháva iba štvorcové výrazy.

Pokiaľ sme šťastní, keď počítame odmocniny, môžeme teraz vyriešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu.

Vyplnenie štvorca je tiež užitočné pre získanie rovnice kruhu, elipsy alebo iného kužeľovitého úseku do štandardného tvaru.

Napríklad:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

dokončením námestia nájdeme:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

čo nám umožňuje identifikovať túto rovnicu ako rovnicu kruhu so stredom #(2, -3)# a polomer #5#.