Dôkaz, že N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) je celé číslo?

odpoveď:

zvážiť # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Toto má jeden skutočný koreň, ktorý je #6# alias # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

vysvetlenie:

Zvážte rovnicu:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Použite Cardanovu metódu na jeho vyriešenie #t = u + v #

potom:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Odstránenie výrazu v # (U + v) #, pridajte obmedzenie # Uv = 7 #

potom:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Vynásobte pomocou # U ^ 3 # a preusporiadanie, aby sa dosiahol kvadratický # U ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

kvadratickým vzorcom to má korene:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343)) / 2 #

#color (biela) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (biela) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (biela) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Pretože toto je reálne a odvodenie bolo symetrické v # U # a # V #, môžeme použiť jeden z týchto koreňov # U ^ 3 # a ďalšie # V ^ 3 # vyvodiť, že reálna nula # T ^ 3 až 21 t-90 # je:

# t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

ale nájdeme:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Takže reálna nula # T ^ 3 až 21 t-90 # je #6#

tak # 6 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

#COLOR (biely) () #

poznámka pod čiarou

Na nájdenie kubickej rovnice som použil Cardanovu metódu dozadu.

odpoveď:

#N = 6 #

vysvetlenie:

tvorba #x = 45 + 29 sqrt (2) # a #y = 45-29 sqrt (2) # potom

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

tak

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

alebo volania #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # máme

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

s # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # a #z = 6 # je koreň

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #