odpoveď:
#= 6 # kubických jednotiek
vysvetlenie:
normálny vektor je #((2),(3),(1))# ktorý ukazuje v smere oktantu 1, takže daný objem je pod rovinou av oktáte 1
môžeme re-písať lietadlo ako #z (x, y) = 6 - 2x - 3y #
pre #z = 0 # máme
- # z = 0, x = 0 znamená y = 2 #
- # z = 0, y = 0 znamená x = 3 #
a
- - # x = 0, y = 0 znamená z = 6 #
je to toto:
potrebujeme
#int_A z (x, y) dA #
# = int_ (x = 0) ^ (3) int_ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) 6 - 2x - 3y dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6y - 2xy - 3 / 2y ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) t
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6 (2-2 / 3 x) - 2x (2-2 / 3 x) - 3/2 (2-2 / 3 x) ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) t
# = int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6- 4 x + 2/3 x ^ 2 t
# = 6x- 2 x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3) #
#= 18- 18 + 54/9 #
#= 6 #
odpoveď:
6
vysvetlenie:
Budeme vykonávať trojitý integrál.
Najvhodnejšie je kartézsky súradnicový systém. Poradie integrácie nie je kritické. Chystáme sa najprv z, y uprostred, x posledný.
#underline ("Určenie limitov") #
V lietadle #z = 6 - 2x - 3y # a na súradnicovej rovine #z = 0 # preto
# z: 0 rarr 6 - 2x - 3y #
Pozdĺž # Z = 0 #, # Y # ide od 0 do # 3y = 6 - 2x # preto
#y: 0 rarr 2 - 2 / 3x #
Pozdĺž # y = 0, z = 0 # preto
#x: 0 rarr 3 #
Objavujeme objem #f (x, y, z) = 1 #, Integrál sa stáva
# INT_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) INT_0 ^ (6-2x-3y) dzdydx #
# = INT_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) z _0 ^ (6-2x-3y) dydx #
# = INT_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) (6-2x-3y) dydx #
# = int_0 ^ 3 6y-2xy - 3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 4x - 4x + 4 / 3x ^ 2 - 3/2 (4 - 8 / 3x + 4 / 9x ^ 2)) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx #
# = 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3 #
#=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3 #
#=6#
