Trojuholník má vrcholy A (a, b), C (c, d) a O (0, 0). Aká je rovnica a oblasť vymedzeného kruhu trojuholníka?

odpoveď:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # kde

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-bc) ^ 2) #

#A = pi s #

vysvetlenie:

Zovšeobecnila som otázku; Pozrime sa, ako to ide. Nechal som jeden vrchol na počiatku, čo z neho robí trochu menej chaotický a svojvoľný trojuholník je ľahko preložený.

Trojuholník je pre tento problém samozrejme úplne nevyhnutný. Ohraničený kruh je kruh cez tri body, ktoré sú tri vrcholy. Trojuholník robí prekvapivý vzhľad v roztoku.

Niektorá terminológia: ohraničený kruh sa nazýva trojuholník circumcircle a jeho stred trojuholníka circumcenter.

Všeobecná rovnica pre kruh so stredom # (P, q) # a štvorcový polomer # S # je

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

a oblasť kruhu je #A = pi s. #

Máme tri neznáme # P, q, s # a poznáme tri body, takže dostaneme tri rovnice:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # pretože pôvod je na kruhu.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Poďme vyriešiť súčasné rovnice. Poďme ich premeniť na dve lineárne rovnice rozšírením a odčítaním párov, čo znamená stratu # P ^ 2 + q ^ 2 # vľavo a # S # napravo.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

odčítanie, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

podobne

# 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

To sú dve rovnice v dvoch neznámych. # AX = K # má riešenie # X = A ^ {- 1} K. # Spomínam si na dve podľa dvoch maticových inverzných, ktoré neviem ako formátovať, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Pre nás to znamená

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

a štvorcový polomer

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-bc) ^ 2) #

tak oblasť # # Pi krát.

Vidíme, že výraz sa stáva symetrickejším, ak zvážime, čo sa stane pre ľubovoľný trojuholník #(A B C D E F).# Nastavili sme # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # ale teraz to nebudem robiť.

Všimnem si čitateľa # S # je súčinom troch štvorcových dĺžok strán trojuholníka a menovateľa # S # je šestnásťnásobok štvorcovej plochy trojuholníka.

V Rational Trigonometry sa nazývajú štvorcové dĺžky quadrances a šestnásťnásobok štvorcovej plochy sa nazýva quadrea. Našli sme quadrance polomeru circumcircle je súčin štvorcov trojuholníka delené jeho quadrea.

Ak potrebujeme len polomer alebo oblasť circumcircle, môžeme zhrnúť výsledok tu ako:

Štvorcový polomer circumcircle je súčin štvorcových dĺžok trojuholníka delených šestnásťnásobkom štvorcovej plochy trojuholníka.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #