Aký je zvyšok p 12 ^ (p-1), keď p je prvočíslo?

odpoveď:

Zvyšok je rovný #0# kedy # P # je #2# alebo #3#a rovná sa #1# pre všetky ostatné prvočísla.

vysvetlenie:

V prvom rade je možné tento problém preformulovať tak, že je potrebné nájsť hodnotu # 12 ^ (p-1) mod p # kde # P # je prvočíslo.

Na vyriešenie tohto problému potrebujete vedieť Eulerovu vetu. Eulerova veta to hovorí #a ^ {varphi (n)} - = 1 mod n # pre všetky celé čísla # A # a # N # to sú coprime (nezdieľajú žiadne faktory). Možno sa čudujete, čo #phphi (n) # je. Toto je vlastne funkcia známa ako funkcia totient. Je definovaný ako rovný počtu celých čísel # <= N # také, že tieto celé čísla sú # N #, Majte na pamäti, že číslo #1# je považovaný za koprime pre všetky celé čísla.

Teraz, keď poznáme Eulerovu vetu, môžeme ísť na vyriešenie tohto problému.

Všimnite si, že všetky prvočísel iné ako #2# a #3# sú koprime s #12#, Odložme 2 a 3 na neskôr a zamerajme sa na zvyšok prvočísel. Vzhľadom k tomu, že tieto ostatné primy sú coprime na 12, môžeme na nich aplikovať Eulerovu vetu:

# 12 ^ {varphi (p)} - = 1 mod p #

od tej doby # P # je prvočíslo, # Varphi (p) = p-1 #, To dáva zmysel, pretože každé číslo menšie ako prvočíslo bude spolu s ním.

Preto teraz máme # 12 ^ {p-1} - = 1 mod p #

Vyššie uvedený výraz môže byť preložený do # 12 ^ {p-1} # deleno # P # má zvyšok #1#.

Teraz musíme len účtovať #2# a #3#, čo, ako ste už skôr povedali, obaja mali zvyšok #0#.

Preto sme to dokázali # 12 ^ {p-1} # deleno # P # kde # P # je prvočíslo má zvyšok #0# keď je buď p #2# alebo #3# a má zvyšok #1# inak.

Zvyšok polynómu f (x) v x je 10 a 15, keď sa f (x) delí (x-3) a (x-4) .Zostaňte zvyšok, keď sa f (x) delí (x-) 3) (- 4)?

5x-5 = 5 (x-1). Pripomeňme, že stupeň zvyšku poly. je vždy menšie ako delenie poly. Preto, keď je f (x) delené kvadratickou poly. (x-4) (x-3), zvyšok poly. musí byť lineárne, povedzme (ax + b). Ak q (x) je kvocient poly. vo vyššie uvedenom rozdelení máme potom, f (x) = (x-4) (x-3) q (x) + (ax + b) ............ <1> , f (x), keď je vydelený (x-3), zostáva zvyšok 10, rArr f (3) = 10 .................... [pretože, Remainder Theorem] ". Potom <1>, 10 = 3a + b ................................ <2 >. Podobne, f (4) = 15, a 1 rArr4a + b = 15 ................... 3. Roztok <

Keď sa polynóm delí (x + 2), zvyšok je -19. Keď sa ten istý polynóm delí (x-1), zvyšok je 2, ako určíte zvyšok, keď sa polynóm delí (x + 2) (x-1)?

Vieme, že f (1) = 2 a f (-2) = - 19 z vetvy zvyšku Teraz nájdeme zvyšok polynómu f (x), keď ho vydelíme (x-1) (x + 2) Zvyšok bude formulár Ax + B, pretože je to zvyšok po rozdelení kvadratickým. Teraz môžeme násobiteľa násobiť kvocientom Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B Ďalej vložte 1 a -2 pre x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Pri riešení týchto dvoch rovníc dostaneme A = 7 a B = -5 Zvyšok = Ax + B = 7x-5

X, y a x-y sú všetky dvojciferné čísla. x je štvorcové číslo. y je číslo kocky. x-y je prvočíslo. Aký je jeden možný pár hodnôt pre x a y?

(x, y) = (64,27), &, (81,64). Vzhľadom k tomu, že x je dvojciferné číslo č. xv {16,25,36,49,64,81}. Podobne dostaneme y v hodnote {27,64}. Teraz, pre y = 27, (x-y) "bude + ve prime, ak" x> 27. Je jasné, že x = 64 spĺňa požiadavku. Takže (x, y) = (64,27) je jeden pár. Podobne, (x, y) = (81,64) je ďalší pár.