Ako integrovať sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

odpoveď:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

vysvetlenie:

Vzhľadom k tomu, že je jednoduchšie riešiť len jeden #X# pod druhou odmocninou vyplníme námestie:

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# K = -4 #

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Teraz musíme urobiť goniometrickú substitúciu. Budem používať hyperbolické trig funkcie (pretože secant integrál zvyčajne nie sú veľmi pekné). Chceme používať nasledujúcu identitu:

# COSH ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Chceme to urobiť # (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #, Môžeme to vyriešiť #X# aby sme získali to, čo potrebujeme:

# X + 2 = 2cosh (theta) #

# X = 2cosh (theta) -2 #

Integrovať s ohľadom na # # Theta, musíme násobiť derivátom #X# vzhľadom na. t # # Theta:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Teraz môžeme použiť identitu # COSH ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4-násobok (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4-násobok hh ^ 2 (theta)

Teraz používame identitu:

# Sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2Theta) -1) #

# 4 / 2int koša (2theta) -1 d theta = int koh (2theta) d theta-2theta = #

Mohli by sme urobiť explicitnú u-substitúciu # 2cosh (2theta) #, ale je celkom zrejmé, že odpoveď je #sinh (2theta) #:

# = Sinh (2Theta) -2theta + C #

Teraz potrebujeme zrušiť substitúciu. Môžeme to vyriešiť # # Theta získať:

# Theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

To dáva:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #