Čo je druhá odmocnina sqrt ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

odpoveď:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

aspoň dve z týchto podržaní:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

vysvetlenie:

Poznač si to:

# (X ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2) #

# = farba (červená) (zrušenie (farba (čierna) (x ^ 2)) - farba (červená) (zrušenie (farba (čierna) (x ^ 2)) + farba (fialová) (zrušenie (farba (čierna)) (y ^ 2))) - farba (fialová) (zrušiť (farba (čierna) (y ^ 2))) + farby (fialová) (zrušiť (farba (čierna) (z ^ 2))) - farba (fialová) (zrušenie (farba (čierna) (z ^ 2)) = 0 #

Uvidíme, čo sa stane, keď sa postavíme:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) #

ako sa zrušia štvorcové výrazy …

# (Sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (Sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2 + (sqrt (y ^ 2-z ^ 2)) ^ 2 + (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = Farba (červená) (zrušiť (farbu (čierna) ((x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #

Takže druhá odmocnina, ktorú chceme, je:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#COLOR (biely) () #

Poznámky

Vyššie uvedená odpoveď predpokladá, že:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

Aj keď to drží, ak aspoň jeden z #a, b # je nezáporné, zlyhá, ak sú obe negatívne.

Toto sa môže stať vo vyššie uvedenom odvodení, ak napríklad:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Potom nájdeme:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… opačným znamením z toho, čo potrebujeme.