Nájsť všetky kritické body pre túto funkciu?

odpoveď:

#(0,-2)# je sedlový bod

#(-5,3)# je lokálne minimum

vysvetlenie:

Dostali sme #G (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x, 24y #

Po prvé, musíme nájsť body, kde # (Delgo) / (delx) # a # (Delgo) / (Dely) # obe rovné 0.

# (Delgo) / (delx) = 6x + 6Y + 12 #

# (Delgo) / (Dely) = 6x + 6Y ^ 2-24 #

# 6 (x + y + 2) = 0 #

# 6 (x + y ^ 2-4) = 0 #

# X + y + 2 = 0 #

# X = -y-2 #

# -Y-2 + y ^ 2-4 = 0 #

# Y ^ 2-y-6 = 0 #

# (Y-3), (y + 2) = 0 #

# y = 3 alebo -2 #

# X = -3-2 = -5 #

# X = 2-2 = 0 #

Kritické body sa vyskytujú pri #(0,-2)# a #(-5,3)#

Teraz pre klasifikáciu:

Rozhodujúci faktor # F (x, y) # je daný #D (x, y) = (del ^ 2 g) / (delx ^ 2) (del ^ 2 g) / (Dely ^ 2) - ((del ^ 2 g) / (delxy)) ^ 2 #

# (Del ^ 2 g) / (delx ^ 2) = del / (delx) ((Delgo) / (delx)) = del / (delx) (6x + 6Y + 12) = 6 #

# (Del ^ 2 g) / (Dely ^ 2) = del / (Dely) ((Delgo) / (Dely)) = del / (Dely) (6x + 6Y ^ 2-24) = 12y #

# (Del ^ 2 g) / (delxy) = del / (delx) ((Delgo) / (Dely)) = del / (delx) (6x + 6Y ^ 2-24) = 6 #

# (Del ^ 2 g) / (delyx) = del / (Dely) ((Delgo) / (delx)) = del / (Dely) (6x + 6Y + 12) = 6 #

#D (x, y) = 6 (12y) -36 #

#D (0, -2) = 72 (-2) -36 = -180 #

#D (-5,3) = 72 (3) -36 = 180 #

od tej doby #D (0, -2) <0 #, #(0,-2)# je sedlový bod.

A odvtedy #D (-5,3)> 0 a (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# je lokálne minimum. (# (Del ^ 2 g) / (delx ^ 2) = 6 # takže nemusíme robiť žiadne výpočty).