Čo je druhá odmocnina 543?

odpoveď:

#sqrt (543) ~ ~ 23.30236 #

vysvetlenie:

Primárna faktorizácia spoločnosti #543# je:

#543 = 3 * 181#

Keďže nemá žiadne štvorcové faktory väčšie ako #1#, druhá odmocnina #543# nemožno zjednodušiť.

Je to iracionálne číslo medzi # 23 = sqrt (529) # a # 24 = sqrt 576 #.

Lineárne interpolovanie, môžeme sa priblížiť:

#sqrt (543) ~ 23+ (543-529) / (576-529) = 23 14/47 ~ ~ 23,3 #

Pre väčšiu presnosť, nech # p_0 / q_0 = 233/10 # a opakujte pomocou vzorcov:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2p_iq_i):} #

takže:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 x 10 2 = 54289 + 54300 = 108589), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 x 233 x 10 = 4660):} #

Práve táto jedna iterácia postačuje #7# (takmer #8#) významné číslice:

#sqrt (543) ~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~ ~ 23.30236 #

Ak chceme viac presnosti, znova to opakujte.

poznámka pod čiarou

Presný opakujúci sa zlomok pre #sqrt (543) # je:

# 543 = 23; bar (3,3,3,1,14,1,3,3,3,46) #

z ktorého je možné nájsť riešenie Pellovej rovnice:

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

čo robí #sqrt (543) ~ ~ 669337/28724 # veľmi účinnú aproximáciu.