Ak je to možné, nájdite funkciu f takú, že grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

odpoveď:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

vysvetlenie:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Now take" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Potom máme jeden a ten istý f, ktorý spĺňa podmienky." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

odpoveď:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

vysvetlenie:

V otázke máme zlý zápis, pretože operátor del (alebo operátor gradientu) je vektorový diferenciálny operátor, Hľadáme funkciu # F (x, y) # také, že:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Kde #bb (grad) # je operátor gradientu:

# "grad" f = bb (grad) f = (čiastočné f) / (čiastočné x) bb (ul hat i) + (čiastočné f) / (čiastočné x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Z ktorých požadujeme, aby:

# f_x = (čiastočné f) / (čiastočné x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 t ….. A

# f_y = (čiastočné f) / (čiastočné y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 t ….. B

Ak integrujeme A wrt #X#pri ošetrení # Y # ako konštantný potom dostaneme:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2

= x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Ak integrujeme B wrt # Y #pri ošetrení #X# ako konštantný potom dostaneme:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5

= 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Kde #u (y) # je ľubovoľná funkcia # Y # samostatne a #V (x) # je ľubovoľná funkcia #X# sám.

Samozrejme, že tieto funkcie musia byť identické, a preto máme:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

A tak si vyberáme #V (x) = x ^ 4 # a #u (y) = y ^ 6 #, ktoré nám dáva naše riešenie:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Riešenie môžeme ľahko potvrdiť výpočtom parciálnych derivátov:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # # QED