Aká je povrchová plocha pevnej látky vytvorená otáčaním f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), xv [1,3] okolo osi x?

odpoveď:

Určite znak a potom ho integrujte podľa častí. Oblasť je:

# A = 39,6345 #

vysvetlenie:

Musíte vedieť, či # F (x) # je negatívny alebo pozitívny #1,3#, Z tohto dôvodu:

# Xe ^ -X-xe ^ x #

#X (e ^ -X-e ^ x) #

Na určenie znamienka bude druhý faktor pozitívny, keď:

# E ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# E ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

od tej doby # E ^ x> 0 # pre každého #x in (-oo, + oo) # nerovnosť sa nezmení:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2 x)> 0 #

# E ^ (2 x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#X <0 #

Takže funkcia je len pozitívna, keď x je záporné a naopak. Pretože tam je tiež #X# faktor v # F (x) #

# F (x) = x (e ^ -X-e ^ x) #

Ak je jeden faktor pozitívny, druhý je záporný, takže f (x) je vždy negatívne, Preto oblasť:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -X-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3XE ^ -xdx + int_1 ^ 3XE ^ XDX #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ XDX #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ XDX #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3e-e ^ 3 + E #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Pomocou kalkulačky:

# A = 39,6345 #

odpoveď:

Plocha = 11 336,8 štvorcových jednotiek

vysvetlenie:

uvedené #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

pre jednoduchosť nechať # F (x) = y #

a # y = xe ^ -x -xe ^ x #

prvý derivát # Y '# je potrebná pri výpočte plochy povrchu.

rozloha # = 2pi int_1 ^ 3 y # # Ds #

kde # Ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # # Dx

rozloha # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # # Dx

Určite prvý derivát # Y '#:

rozlíšiť # y = x (e ^ -x - e ^ x) # použitím derivátu produktového vzorca

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

po zjednodušení a faktoringu je to výsledok

prvý derivát # Y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Vypočítať oblasť:

Plocha = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # Ds #

rozloha # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # # Dx

rozloha

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # # Dx

Pre takéto zložité integrály môžeme použiť pravidlo Simpson:

tak

rozloha

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # # Dx

Plocha = -11,336,804

to zahŕňa smer otáčania, takže môže byť negatívna povrchová plocha alebo pozitívna povrchová plocha. Uvažujme len o kladnej hodnote Plocha = 11336.804 štvorcových jednotiek