Čo je orthocenter trojuholníka s rohmi na (9, 5), (3, 8) a (5, 6)?

odpoveď:

Kroky: (1) nájsť svahy z 2 strán, (2) nájsť svahy čiar kolmých k týmto stranám, (3) nájsť rovnice s tými svahmi, ktoré prechádzajú cez opačné vrcholy, (4) nájsť bod, kde sa tieto čiary pretínajú, čo je ortocenter, v tomto prípade #(6.67, 2.67)#.

vysvetlenie:

Na nájdenie ortocentra trojuholníka nájdeme svahy (gradienty) dvoch jeho strán, potom rovnice čiar kolmých na tieto strany.

Môžeme použiť tieto svahy plus súradnice bodu naproti príslušnej strane, aby sme našli rovnice priamok kolmých na strany, ktoré prechádzajú opačným uhlom: tieto sa nazývajú „výšky“ pre strany.

Kde sú nadmorské výšky pre dve strany kríža ortocenter (nadmorská výška pre tretiu stranu by tiež prechádzala týmto bodom).

Označme naše body, aby sme ich ľahšie odkázali:

Bod A = #(9, 5)#

Bod B = #(3, 8)#

Bod C = #(5, 6)#

Ak chcete nájsť svah, použite vzorec:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Nechceme však tieto svahy, ale svahy čiar kolmých (v pravom uhle) k nim. Čiara kolmá na priamku so svahom # M # má sklon # -1 / m #, takže čiara kolmá na # AB # má sklon #-2# a čiara kolmá na # # BC má sklon #1#.

Teraz môžeme nájsť rovnice výšok bodu C (naproti AB) a bodu A (oproti BC), pričom nahradíme súradnice týchto bodov do rovnice

# Y = mx + c #

Pre bod C je nadmorská výška:

# 6 = -2 (5) + c # ktorý dáva # C = 6 + 10 = 16 # teda #y = -2x + 16 #

Podobne pre bod A:

# 5 = 1 (9) + c # ktorý dáva # C = 5-9 = -4 # takže rovnica je:

# Y = x-4 #

Ak chcete nájsť orthocenter, jednoducho musíme nájsť bod, kde sa tieto dva riadky krížia. Môžeme ich priradiť k sebe:

# -2x + 16 = X-4 #

preskupiť, # 3x = 20 až x ~ ~ 6,67 #

Nahraďte do jednej rovnice # Y # hodnotu, ktorá je #2.67#.

Preto je bod orthocenter #(6.67, 2.67)#.

Pomer jednej strany trojuholníka ABC k zodpovedajúcej strane podobného trojuholníkového DEF je 3: 5. Ak je obvod trojuholníka DEF 48 palcov, aký je obvod trojuholníka ABC?

"Obvod" trojuholníka ABC = 28.8 Keďže trojuholník ABC ~ trojuholník DEF potom ak ("strana" ABC) / ("zodpovedajúca strana" DEF) = 3/5 farby (biela) ("XXX") rArr ("obvod "ABC) / (" obvod "DEF) = 3/5 a pretože" obvod "DEF = 48 máme farbu (biela) (" XXX ") (" obvod "ABC) / 48 = 3/5 rArrcolor ( biela) ("XXX") "obvod" ABC = (3xx48) /5=144/5=28.8

Trojuholník A má plochu 12 a dve strany s dĺžkami 3 a 8. Trojuholník B je podobný trojuholníku A a má stranu dĺžky 9. Aké sú maximálne a minimálne možné plochy trojuholníka B?

Maximálna možná plocha trojuholníka B = 108 Minimálna možná plocha trojuholníka B = 15,1875 Delta s A a B sú podobné. Ak chcete získať maximálnu plochu Delta B, strana 9 Delta B by mala zodpovedať strane 3 Delta A. Strany sú v pomere 9: 3 Preto budú oblasti v pomere 9 ^ 2: 3 ^ 2 = 81: 9 Maximálna plocha trojuholníka B = (12 * 81) / 9 = 108 Podobne ako minimálna plocha, strana 8 Delta A bude zodpovedať strane 9 Delta B. Strany sú v pomere 9: 8 a plochy 81: 64 Minimálna plocha Delta B = (12 * 81) / 64 = 15,1875

Trojuholník A má plochu 12 a dve strany s dĺžkami 3 a 8. Trojuholník B je podobný trojuholníku A a má stranu dĺžky 15. Aké sú maximálne a minimálne možné plochy trojuholníka B?

Maximálna možná plocha trojuholníka B je 300 sq.unit Minimálna možná plocha trojuholníka B je 36,99 sq.unit Plocha trojuholníka A je a_A = 12 Uhol medzi stranami x = 8 a z = 3 je (x * z * sin Y) / 2 = a_A alebo (8 * 3 * sin Y) / 2 = 12:. sin Y = 1:. / _Y = sin ^ -1 (1) = 90 ^ 0 Preto, uhol medzi stranami x = 8 a z = 3 je 90 ^ 0 Strana y = sqrt (8 ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt 73. Pre maximálne plocha v trojuholníku B Strana z_1 = 15 zodpovedá najnižšej strane z = 3 Potom x_1 = 15/3 * 8 = 40 a y_1 = 15/3 * sqrt 73 = 5 sqrt 73 Maximálna možná plocha bude (x_1 * z_1) / 2 = (40