Aké sú absolútne extrémy f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) v [2,9]?

odpoveď:

Absolútne minimum je # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# ktorý nastane, keď # X = 9 #.

Absolútne maximum je # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # ktorý nastane, keď # X = 2 #.

vysvetlenie:

Absolútne extrémy funkcie sú najväčšie a najmenšie hodnoty y funkcie danej domény. Táto doména nám môže byť poskytnutá (ako v tomto probléme) alebo môže byť doménou samotnej funkcie. Aj keď dostaneme doménu, musíme zvážiť doménu samotnej funkcie, v prípade, že vylučuje akékoľvek hodnoty domény, ktorej sme dané.

# F (x) # obsahuje exponent #1/3#, čo nie je celé číslo. Našťastie doména #p (x) = root3 (x) # je # (- oo, oo) # takže táto skutočnosť nie je problémom.

Stále však musíme zvážiť skutočnosť, že menovateľ sa nemôže rovnať nule. Menovateľ sa rovná nule, keď #X = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #, Ani jedna z týchto hodnôt nie je v danej oblasti #2,9#.

Obraciame sa teda na nájdenie absolútneho extrému #2,9#, Absolútne extrémy sa vyskytujú v koncových bodoch domény alebo pri lokálnom extréme, čo je bod, kde funkcia mení smer. Lokálne extrémy sa vyskytujú v kritických bodoch, čo sú body v doméne, kde sa derivát rovná #0# alebo neexistuje. Musíme teda nájsť deriváciu. Použitie pravidla podielu:

# F '(x) = ((3 x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3 x ^ 2-1) ^ 2 #

# F '(x) = ((3 x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3 x ^ 2-1) ^ 2 #

# F '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3 x ^ 2-1) ^ 2 #

# F '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3 x ^ 2-1) ^ 2 #

Ak budeme faktor # -3x ^ (- 2/3) # z čitateľa máme:

# F '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3 x ^ 2-1) #

Neexistujú žiadne hodnoty #X# na #2,9# kde # F '(x) # neexistuje. Neexistujú tiež žiadne hodnoty #2,9# kde # F '(x) = 0 #, Na danej doméne teda nie sú žiadne kritické body.

Pomocou "kandidáta test", nájdeme hodnoty # F (x) # v koncových bodoch. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Rýchla kontrola našich kalkulačiek ukazuje, že:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (absolútne maximum)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (absolútne minimum)

Aké sú absolútne extrémy f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 v [0,3]?

Na [0,3], maximum je 19 (pri x = 3) a minimum je -1 (pri x = 1). Aby sme našli absolútne extrémy (spojitej) funkcie v uzavretom intervale, vieme, že extrém sa musí vyskytnúť buď na kortikálnych numers v intervale alebo na koncových bodoch intervalu. f (x) = x ^ 3-3x + 1 má deriváciu f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 nie je nikdy nedefinované a 3x ^ 2-3 = 0 pri x = + - 1. Keďže -1 nie je v intervale [0,3], vyradíme ho. Jediné kritické číslo, ktoré treba zvážiť, je 1. f (0) = 1 f (1) = -1 a f (3) = 19. Maximálna hodnota je 19 (pri x = 3) a min

Aké sú absolútne extrémy f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) v [1,4]?

Neexistujú žiadne globálne maximá. Globálne minimá sú -3 a vyskytujú sa pri x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, kde x 1 f '(x) = 2x - 6 Absolútne extrémy sa vyskytujú na koncovom bode alebo na kritické číslo. Koncové body: 1 a 4: x = 1 f (1): "nedefinované" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Kritické body: f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Pri x = 3 f (3) = -3 Nie sú žiadne globálne maximá. Neexistujú žiadne

Ako zistíte absolútne maximálne a absolútne minimálne hodnoty f na danom intervale: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) na [-1, 5]?

Reqd. extrémne hodnoty sú -25/2 a 25/2. Používame substitúciu t = 5sinx, tv [-1,5]. Všimnite si, že táto substitúcia je prípustná, pretože t v [-1,5] rArr-1 <= t <= 5rArr-1 <= 5sinx <5 rArr-1/5 <= sinx <1, ktorý je dobrý, ako rozsah hriešnej zábavy. je [-1,1]. Teraz, f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sxx * sqrt (25-25sin ^ 2x) = 5sxx5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x Vzhľadom k tomu, -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 Preto reqd. končatiny sú -25/2 a 25/2.