Zo 7 lotériových tiketov 3 sú výherné vstupenky. Ak niekto kúpi 4 vstupenky, čo je pravdepodobnosť výhry aspoň dvoch cien?

odpoveď:

# P = 22/35 #

vysvetlenie:

Takže máme #3# víťazný a #4# bez výherných lístkov #7# vstupenky k dispozícii.

Oddelme problém do štyroch nezávislých vzájomne sa vylučujúcich prípadov:

a) existujú #0# vyhrávať vstupenky medzi tými #4# kúpil

(tak, všetci #4# zakúpené vstupenky sú z fondu #4# nevyhraté vstupenky)

b) existuje #1# víťazný lístok medzi tými #4# kúpil

(Tak, #3# zakúpené vstupenky sú z fondu #4# nevyhraté vstupenky a #1# lístok je z fondu #3# výhra vstupeniek)

c) existujú #2# vyhrávať vstupenky medzi tými #4# kúpil

(Tak, #2# zakúpené vstupenky sú z fondu #4# nevyhraté vstupenky a #2# Vstupenky sú z fondu #3# výhra vstupeniek)

d) existujú #3# vyhrávať vstupenky medzi tými #4# kúpil

(Tak, #1# zakúpený lístok je z fondu #4# nevyhraté vstupenky a #3# Vstupenky sú z fondu #3# výhra vstupeniek)

Každá z vyššie uvedených udalostí má svoju vlastnú pravdepodobnosť výskytu.Zaujímajú nás udalosti (c) a (d), o ktorých je problém pravdepodobnosti ich výskytu. Tieto dve nezávislé podujatia predstavujú udalosť, v ktorej „vyhrali aspoň dve ceny“. Keďže sú nezávislé, pravdepodobnosť kombinovanej udalosti je súčtom jej dvoch zložiek.

Pravdepodobnosť udalosti (c) možno vypočítať ako pomer počtu kombinácií #2# zakúpené vstupenky sú z fondu #4# nevyhraté vstupenky a #2# Vstupenky sú z fondu #3# výhra vstupeniek (# # N_c) na celkový počet kombinácií. t #4# z #7# (N).

# P_c = C_3 ^ 2 * ^ 2 C_4 #

Čitateľ # # N_c sa rovná počtu kombinácií #2# výhra lístkov #3# k dispozícii # C_3 ^ 2 = (3!) / (2! * 1!) = 3 # vynásobený počtom kombinácií. t #2# non-víťazné vstupenky z #4# k dispozícii # C_4 ^ 2 = (4!) / (2! * 2!) = 6 #.

Čitateľ je teda

# N_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 = 3 * 6 = 18 #

Menovateľom je

# N = C_7 ^ 4 = (7!) / (4! * 3!) = 35 #

Takže pravdepodobnosť udalosti (c) je

# P_c = N_c / N = (3 * 6) / 35 = 18/35 #

Podobne pre prípad d) máme

# N_d = C_3 ^ 3 * C_4 ^ 1 = 1 * 4 = 4 #

# P_d = N_d / N = 4/35 #

Súčet pravdepodobností udalostí (c) a (d) je

# P = P_c + P_d = 18/35 + 4/35 = 22/35 #