Začnime s funkciou bez # M #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Táto funkcia má určite # X = 0 # ako root, pretože sme fakturovali #X#.
Ostatné korene sú riešenia # X ^ 2-2x + 2 = 0 #, ale táto parabola nemá žiadne korene. To znamená, že pôvodný polynóm má len jeden koreň.
Teraz, polynóm #p (x) # má vždy aspoň jedno riešenie, pretože máte
#lim_ {x to- infty} p (x) = - infty # a #lim_ {x to infty} p (x) = infty #
a #p (x) # je nepretržitý, takže musí prechádzať cez #X# osi.
Odpoveď vychádza z týchto dvoch výsledkov:
- Polynóm stupňa # N # má presne # N # komplexné korene, ale najviac # N # skutočné korene
- Vzhľadom k grafu # F (x) #, graf # F (x) + k # má rovnaký tvar, ale je vertikálne preložený (smerom nahor ak #K> 0 #inak).
Začneme od # X ^ 3-2x ^ 2 + 2 #, ktorý má len jedno skutočné korene (a teda dva komplexné korene) a transformujeme ho na # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, čo znamená, že ho prekladáme hore alebo dole, takže nemeníme počet riešení.
Niekoľko príkladov:
Pôvodná funkcia: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Preložiť hore: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Preložiť dole: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2-3 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Ako vidíte, vždy existuje jeden koreň
odpoveď:
Pozri nižšie
vysvetlenie:
Alternatívne, možno elegantnejšie riešenie:
derivát vášho polynómu je # 3x ^ 2-4x + 2 #, čo je parabola vydutá bez koreňov, a teda vždy pozitívna. takže, # F # je:
- Monotónne sa zvyšuje
- #lim_ {x na pm infty} f (x) = pm infty #
- # "C" (f) = 3 #
Prvé dva body to dokazujú # F # má presne jeden koreň a tretí, že ostatné dva korene sú zložité.
