Predpokladajme, že existoval základ a určitý počet dimenzií subpriestoru W v RR ^ 4. Prečo je počet dimenzií 2?

odpoveď:

4 rozmery mínus 2 obmedzenia = 2 rozmery

vysvetlenie:

3. a 4. súradnice sú jediné nezávislé. Prvé dve môžu byť vyjadrené ako posledné dve.

odpoveď:

O dimenzii subpriestoru rozhodujú jeho základy, a nie dimenzia akéhokoľvek vektorového priestoru, ktorým je subpriestor.

vysvetlenie:

Rozmer vektorového priestoru je definovaný počtom vektorov na základe tohto priestoru (pre nekonečné dimenzionálne priestory, je definovaný kardinálnosťou bázy). Všimnite si, že táto definícia je konzistentná, pretože môžeme dokázať, že akýkoľvek základ vektorového priestoru bude mať rovnaký počet vektorov ako akýkoľvek iný základ.

V prípade # RR ^ n # my to vieme #dim (RR ^ n) = n # ako

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

je základom # RR ^ n # a má # N # prvky.

V prípade #W = s, tv RR # môžeme napísať akýkoľvek prvok # W # ako #svec (u) + tvec (v) # kde #vec (u) = (4,1,0,1) # a #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Z toho máme to # {vec (u), vec (v)} # je nastavený pre # W #, pretože #vec (u) # a #vec (v) # nie sú jednoznačne skalárne násobky (všimnite si pozície. t #0#s), to znamená, že # {vec (u), vec (v)} # je lineárne nezávislý rozsah pre # W #, to znamená základ. pretože # W # má základ #2# prvkov, hovoríme to #dim (W) = 2 #.

Všimnite si, že rozmer vektorového priestoru nezávisí od toho, či jeho vektory môžu existovať v iných vektorových priestoroch väčšieho rozmeru. Jediný vzťah je ten, ak # W # je subpriestor # V # potom #dim (W) <= dim (V) # a #dim (W) = dim (V) <=> W = V #