Čo je implicitná derivácia 4 = (x + y) ^ 2?

odpoveď:

Môžete použiť počet a stráviť niekoľko minút na tento problém, alebo môžete použiť algebru a stráviť niekoľko sekúnd, ale v každom prípade dostanete # Dy / dx = -1 #.

vysvetlenie:

Začnite tým, že vezmete derivát s ohľadom na obe strany:

# D / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 #

Vľavo máme deriváciu konštanty - ktorá je spravodlivá #0#, Tým sa problém rozdeľuje na:

# 0 = d / dx (x + y) ^ 2 #

Vyhodnotiť # D / dx (x + y) ^ 2 #, musíme použiť pravidlo moci a pravidlo reťazca:

# D / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) "* 2 (x + y) ^ (2-1) #

Poznámka: množíme sa # (X + y) "# pretože reťazové pravidlo nám hovorí, že musíme vynásobiť deriváciu celej funkcie (v tomto prípade # (X + y) ^ 2 # vnútornou funkciou (v tomto prípade # (X + y) #).

# D / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) "* 2 (x + y) #

Ako pre # (X + y) "#, všimnite si, že môžeme použiť pravidlo súčtu na jeho rozdelenie # X '+ y' #. #X'# je jednoducho #1#a pretože v skutočnosti nevieme čo # Y # musíme odísť # Y '# ako # Dy / dx #:

# D / dx (x + y) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Teraz, keď sme našli našu deriváciu, problém je:

# 0 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Robiť niektoré algebry izolovať # Dy / dx #, vidíme:

# 0 = (1 + dy / dx) (2x + 2y) #

# 0 = 2x + dy / dx2x + dy / dx2y + 2y #

# 0 = x + dy / Dxx + dy / DXY + y #

# -X-y = dy / Dxx + dy / DXY #

# -X-y = dy / dx (x + y) #

# Dy / dx = (- x-y) / (x + y) #

Je zaujímavé, že sa to rovná #-1# pre všetkých #X# a # Y # (okrem prípadov, keď. t # X = -y #). Z tohto dôvodu # Dy / dx = -1 #, Mohli sme to skutočne zistiť bez použitia akéhokoľvek počtu! Pozrite sa na rovnicu # 4 = (x + y) ^ 2 #, Vezmite druhú odmocninu oboch strán # + - 2 = x + y #, Teraz odpočítajte #X# z oboch strán a máme #y = + - 2-x #, Pamätajte si ich z algebry? Sklon tejto čiary je #-1#a keďže derivát je sklon, mohli sme práve povedať # Dy / dx = -1 # a vyhnúť sa všetkej tej práci.